[论文解读] Observer design for invariant systems with homogeneous observations

Christian Lageman, Jochen Trumpf+1 more|ArXiv.org|Oct 4, 2008

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对有限维连通李群上具有由互补群作用生成的齐次输出的不变系统的新型观测器设计。通过将系统动力学投影到齐次输出空间，作者构建了一个类似梯度的观测器，利用不变性特性与观测器误差动力学的结构分解，确保了对不可观测子群的几乎全局收敛。

ABSTRACT

This paper considers the design of nonlinear observers for invariant systems posed on finite-dimensional connected Lie groups with measurements generated by a transitive group action on an associated homogeneous space. We consider the case where the group action has the opposite invariance to the system invariance and show that the group kinematics project to a minimal realisation of the systems observable dynamics on the homogeneous output space. The observer design problem is approached by designing an observer for the projected output dynamics and then lifting to the Lie-group. A structural decomposition theorem for observers of the projected system is provided along with characterisation of the invariance properties of the associated observer error dynamics. We propose an observer design based on a gradient-like construction that leads to strong (almost) global convergence properties of canonical error dynamics on the homogeneous output space. The observer dynamics are lifted to the group in a natural manner and the resulting gradient-like error dynamics of the observer on the Lie-group converge almost globally to the unobservable subgroup of the system, the stabiliser of the group action.

研究动机与目标

• 填补在具有互补不变性（例如左不变动力学与右不变输出）的不变系统中观测器设计的空白，这类系统在机器人状态估计中很常见。
• 在齐次输出流形的商空间上制定观测器设计问题，实现可观测动力学的最小实现。
• 表征观测器误差动力学的不变性特性，以确保观测器与被控对象之间的自主耦合。
• 在投影系统上构建一个构造性类似梯度的观测器设计，其可提升至完整李群并具备强稳定性保证。
• 建立提升后的观测器实现对不可观测子群（群作用的稳定化子）的几乎全局渐近稳定性的条件。

提出的方法

• 通过传递群作用将完整系统动力学投影到齐次输出空间，得到可观测动力学的最小实现。
• 将观测器分解为同步内部模型与等变创新项，确保误差动力学的不变性。
• 在齐次输出空间上定义代价函数，利用该空间上的黎曼度量构造类似梯度的创新项。
• 使用群作用将投影后的观测器动力学重新提升至李群状态空间，保持不变性与稳定性特性。
• 利用李群上的右不变度量（例如，$\frac{1}{2}\operatorname{tr}((\bar{\Omega}(v))_{\times}^\top(\bar{\Omega}(w))_{\times})$）定义梯度，确保几何一致性。
• 推导出在 $SO(3)$ 上的显式观测器动力学为 $\dot{\hat{R}} = \hat{R}u + k\hat{R}(y \times \hat{y})_{\times}$，其与已知的互补滤波器（带偏差补偿）结构一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输出群作用相对于系统动力学具有互补不变性时，如何系统地处理李群上不变系统的观测器设计？
• RQ2 此类系统中可观测动力学的最小实现是什么？其与不可观测子群有何关系？
• RQ3 创新项必须满足何种不变性特性，才能确保观测器与被控对象之间误差动力学的自主性？
• RQ4 在齐次输出空间上基于类似梯度的构造是否能产生强收敛特性，并可提升至完整李群？
• RQ5 在姿态估计中使用向量测量时，$SO(3)$ 上提升后观测器的显式形式及其稳定性行为如何？

主要发现

• 具有互补不变性（左不变动力学，右不变输出）的系统可投影至齐次输出空间，实现最小实现，且群作用的稳定化子对应于不可观测子群。
• 在齐次输出空间上，所提出的类似梯度的创新项可确保观测器误差动力学几乎全局渐近稳定，从而实现对真实输出（至不可观测子群）的收敛。
• 在李群上提升后的观测器可实现对不可观测子群的渐近稳定，且在代价函数满足适当假设下，收敛性可保证为几乎全局。
• 在 $SO(3)$ 上的显式观测器为 $\dot{\hat{R}} = \hat{R}u + k\hat{R}(y \times \hat{y})_{\times}$，其结构与姿态估计中已知的互补滤波器一致。
• 提升后代价函数 $\tilde{f}(\hat{R}, R) = \frac{k}{2}\|\hat{R}^\top y_0 - R^\top y_0\|^2$ 的梯度可导出观测器动力学，验证了其与几何观测器设计原理的一致性。
• 将 $SO(3)$ 上的右不变度量投影至 $S^2$ 的切空间，得到标准欧氏度量，验证了观测器设计的几何一致性。