[论文解读] Obstruction classes and Open Gromov-Witten invariants

Vito Iacovino|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于障碍类的直接定义方式，用于计算具有相对自旋、Maslov指数为零的拉格朗日子流形的卡拉比-丘三流形上的零亏格开Gromov-Witten不变量。通过递归地使用bounding chains和同伦数据构造链复形，该方法在不依赖势函数的前提下定义了有理数不变量，证明了当障碍类在有理同调中消失时，不变量是良定义的，并通过递归的链复形结构证明了其存在性。

ABSTRACT

We define genus zero open Gromov-Witten invariants for Calabi-Yau three folds and relatively spin Lagrangian submanifold of Maslov index zero.

研究动机与目标

• 为具有Maslov指数为零、相对自旋的拉格朗日子流形的卡拉比-丘三流形提供一种直接的、无需势函数的零亏格开Gromov-Witten不变量定义。
• 不仅针对相对同调类，还针对固定辛面积定义不变量，从而减少所需条件。
• 阐明障碍类的作用及其消失如何确保不变量的一致性和有理性。
• 建立开Gromov-Witten不变量与拉格朗日Floer同调中使用的bounding chains之间的联系，从而实现后者的新构造。

提出的方法

• 该方法通过分析带有顶点标记为相对同调类的带装饰树的多圆盘模空间，递归地定义开Gromov-Witten不变量。
• 引入障碍类 $ o(A) \in C_1(L, \mathbb{Q}) $，作为仅含一个顶点和一条外部边的树所关联的奇异链，用于度量链复形粘合中边界条件的失败程度。
• 使用bounding chains $ b(A) \in C_2(L, \mathbb{Q}) $ 来解决障碍，其中 $ \partial b(A) = o(A) $，其同伦类决定了有理数不变量。
• 对于辛能量等级 $ E_k $，通过能量装饰的树定义不变量 $ F_0(E_k) $，其中障碍类 $ o(E_k) $ 和bounding chains $ b(E_k) $ 以递归方式定义。
• 在存在反辛对合的情况下，对称性迫使所有障碍类消失，从而允许 $ b(E) = 0 $，并恢复了先前工作中得到的不变量。
• 该构造避免了势函数的链复形结构，转而依赖于链的同伦类和有理系数，以确保不变量的有理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以不使用生成势函数而直接定义开Gromov-Witten不变量？
• RQ2 在开Gromov-Witten理论中，阻止有理数不变量定义的精确障碍类是什么？
• RQ3 bounding chains 如何与不变量构造的一致性以及与拉格朗日Floer同调相关联？
• RQ4 在何种条件下障碍类消失，这对不变量的有理性和良定义性有何影响？
• RQ5 是否可以针对固定辛面积而非相对同调类来定义不变量，这对障碍结构有何影响？

主要发现

• 对于每个相对同调类 $ A \in H_2(X,L) $，若所有更小的类 $ A' $ 的 $ o(A') $ 和 $ b(A') $ 均已定义，则障碍类 $ o(A) \in C_1(L,\mathbb{Q}) $ 是良定义的，从而支持递归构造。
• 当 $ o(A) $ 已定义且在 $ H_1(L,\mathbb{Q}) $ 中满足 $ [o(A)] = 0 $ 时，开Gromov-Witten不变量 $ F_0(A) \in \mathbb{Q} $ 被定义，其中 $ b(A) \in C_2(L,\mathbb{Q}) $ 满足 $ \partial b(A) = o(A) $。
• 当拉格朗日子流形为反辛对合的固定点集时，所有障碍类消失，且 $ b(E) = 0 $，此时得到的不变量与文献[5]中的结果一致。
• 不变量 $ F_0(A) $ 显然是有理数，这是相对于基于势函数定义的一大优势。
• 该构造为任意维度的拉格朗日Floer同调提供了一种新的链复形方法，且无需依赖卡拉比-丘条件。
• 对于辛能量等级 $ E_k $，不变量 $ F_0(E_k) $ 以递归方式定义，其依赖于 $ k' < k $ 时 $ b(E_{k'}) $ 的同伦类。