[论文解读] Obstructions to Gapped Phases from Non-Invertible Symmetries

Anuj Apte, Clay Córdova+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2022

Atomic and Subatomic Physics Research被引用 8

一句话总结

本文证明，3+1D 量子场论中通过规范化一形式对称性产生的非可逆对偶性对称性通常会阻碍存在一个能谱隙且对称性不变的真空。文章证明，自对偶的 $π_{N}^{(1)}$ 理论在 $N = k^2\ell$ 且 $-1$ 是模 $\ell$ 的二次剩余时才可能有能谱隙或保持对偶性，否则即为无能谱隙或对偶性被自发破缺；该结论通过拓扑不变量与高斯和推广至三重对偶性及其他非可逆对称性。

ABSTRACT

Quantum systems in 3+1-dimensions that are invariant under gauging a one-form symmetry enjoy novel non-invertible duality symmetries encoded by topological defects. These symmetries are renormalization group invariants which constrain dynamics. We show that such non-invertible symmetries often forbid a symmetry-preserving vacuum state with a gapped spectrum. In particular, we prove that a self-dual theory with $\mathbb{Z}_{N}^{(1)}$ one-form symmetry is gapless or spontaneously breaks the self-duality symmetry unless $N=k^{2}\ell$ where $-1$ is a quadratic residue modulo $\ell$. We also extend these results to non-invertible symmetries arising from invariance under more general gauging operations including e.g. triality symmetries. Along the way, we discover how duality defects in symmetry protected topological phases have a hidden time-reversal symmetry that organizes their basic properties. These non-invertible symmetries are realized in lattice gauge theories, which serve to illustrate our results.

研究动机与目标

• 确定 3+1D 量子场论中的非可逆对偶性对称性是否可与一个能谱隙且唯一的真空态共存。
• 识别由对偶性缺陷和高阶形式对称性在拓扑量子场论（TQFT）中引发的拓扑障碍。
• 将 Lieb-Schultz-Mattis 型定理推广至非可逆对称性和更高维度。
• 探讨对偶性缺陷在对称保护拓扑序中的作用及其隐藏的时间反演对称性。
• 通过 $π_{N}^{(1)}$ 规范场论和配分函数约束，构建这些障碍的显式晶格实现。

提出的方法

• 分析 3+1D 场论中具有 $π_{N}^{(1)}$ 一形式全局对称性的对偶性缺陷作为拓扑对称性算符。
• 应用 $S$ 和 $T$ 操作（规范化与叠加）以生成非可逆对称性，推广模群结构。
• 利用单连通自旋 4-流形上交截形式的高斯和，约束配分函数并检测异常。
• 从 $T^{-p'}S$-不变配分函数的一致性推导出条件 $\tilde{p}(\tilde{p}+p') + 1 \equiv 0 \mod \ell$。
• 通过 Dijkgraaf-Witten 理论与平凡理论的直和构造显式例子，实现对偶性对称性的自发破缺。
• 在晶格规范场论中验证结果，表明自对偶的 $π_{N}^{(1)}$ 模型在 $N \leq 4$ 时为无能谱隙或对偶性被破缺。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有非可逆对偶性对称性的 3+1D 量子场论可拥有一个能谱隙且唯一的真空态？
• RQ2 对偶性缺陷——作为非可逆对称性算符——如何约束拓扑场论中能谱隙相的存在？
• RQ3 自对偶的 $π_{N}^{(1)}$ 理论要能谱隙，必须满足哪些拓扑不变量或数论条件（如二次剩余）？
• RQ4 三重对偶性及更一般的由 $T^{-p'}S$ 操作产生的非可逆对称性是否也能阻碍能谱隙相？
• RQ5 自发对偶性对称性破缺如何允许出现能谱隙相？此类相中畴壁的作用是什么？

主要发现

• 自对偶的 $π_{N}^{(1)}$ 理论在 $N = k^2\ell$ 且 $-1$ 是模 $\ell$ 的二次剩余时才可能有能谱隙或保持对偶性，该结论由交截形式上的高斯和约束推导得出。
• 在 4-流形上，$T^{-p'}S$-不变理论的配分函数必须满足 $\tilde{p}(\tilde{p}+p') + 1 \equiv 0 \mod \ell$，该条件与能谱隙真空不相容，除非满足此数论条件。
• 对称保护拓扑序中的对偶性缺陷具有隐藏的时间反演对称性，该对称性组织了其融合与编织性质。
• 自发对偶性对称性破缺允许出现能谱隙相：例如，Dijkgraaf-Witten 理论与平凡理论的直和实现了具有对偶性畴壁的能谱隙三真空相。
• 对 $π_{N}^{(1)}$ 规范场论的晶格实现表明，当 $N \leq 4$ 时，自对偶模型表现出自发对偶性破缺，且不存在唯一真空的能谱隙相。
• 该障碍机制可推广至 $π_{N}^{(1)}$ 之外的非可逆对称性，包括由 $T^{-p'}S$ 操作产生的三重对偶性等，其依据是配分函数的一致性约束。