[论文解读] Occupation times of intervals until first passage times for spectrally negative Lévy processes

Ronnie Loeffen, Jean‐François Renaud+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2012

Probability and Risk Models参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文推导了谱负稳定过程首次通过时间之前区间占用时间的显式拉普拉斯变换，利用 scale 函数以闭式表达结果。主要贡献是一组简化后的 scale 函数解析恒等式，使得在期权定价和保险风险模型（尤其是破产风险的 Omega 模型）中得以应用。

ABSTRACT

In this paper, we identify Laplace transforms of occupation times of intervals until first passage times for spectrally negative Lévy processes. New analytical identities for scale functions are derived and therefore the results are explicitly stated in terms of the scale functions of the process. Applications to option pricing and insurance risk models are also presented.

研究动机与目标

• 推导谱负 Lévy 过程在首次通过时间之前区间占用时间的显式拉普拉斯变换。
• 建立 scale 函数的新解析恒等式，以简化波动理论计算。
• 将现有关于半直线占用时间的结果扩展至有限区间，提升一般性与可计算性。
• 提供以 scale 函数表示的显式公式，用于金融与精算应用。
• 将结果应用于期权定价和 Omega 风险模型，特别是破产概率的计算。

提出的方法

• 使用与谱负 Lévy 过程相关的 scale 函数 $ W^{(q)} $ 和 $ Z^{(q)} $ 理论，推导联合拉普拉斯变换。
• 利用空间同性和强马氏性质，将涉及区间的問題简化为首次通过问题。
• 应用 Wiener-Hunt 公式和 Kyprianou (2006) 的波动恒等式，表达涉及占用时间的期望。
• 推导 $ \big(\tau_c^+, \tau_c^+ \textbf{1}_{(a,b)}(X_s)ds \big) $ 和 $ \big(\tau_0^-, \tau_0^- \textbf{1}_{(a,b)}(X_s)ds \big) $ 的拉普拉斯变换的闭式表达式。
• 使用控制收敛定理及 $ c \to \infty $ 的极限，分析 Omega 模型中无限时间范围的破产概率。
• 将 scale 函数恒等式与涉及 Lévy 测度 $ \Pi $ 和导数 $ W^{(q)\prime} $ 的积分表示相结合，当 $ \sigma > 0 $ 时使用。

实验结果

研究问题

• RQ1 谱负 Lévy 过程在首次通过 0 或 c 之前，于有限区间 (a,b) 的占用时间的显式拉普拉斯变换是什么？
• RQ2 如何简化并推广 scale 函数恒等式，使其涵盖有限区间上的占用时间，而不仅限于半直线？
• RQ3 这些结果对 Omega 风险模型有何影响，特别是对因在负区间内停留时间导致的破产概率计算？
• RQ4 首次通过时间与占用时间的联合拉普拉斯变换如何用 scale 函数表示？
• RQ5 当上界 $ c \to \infty $ 时，这些变换的极限行为如何？它们与破产或破产概率有何关联？

主要发现

• 在首次通过 0 或 c 之前，区间 (a,b) 的占用时间的拉普拉斯变换以 scale 函数 $ W^{(q)} $ 和 $ Z^{(q)} $ 表示，通过波动恒等式推导出显式公式。
• 对于首次通过时间 $ \tau_c^+ $，联合拉普拉斯变换由 $ W^{(q)}(x+b) $、$ Z^{(q)}(x+b) $ 以及 $ W^{(q)} $ 和 $ Z^{(q)} $ 的积分构成的比值给出，当 $ \sigma > 0 $ 时包含一个涉及 Lévy 测度的修正项。
• 在 Omega 模型中，于区间 $ (-b,0) $ 上以速率 $ q $ 的破产概率为 $ \psi'(0+) \cdot \frac{W(x+b) + q \int_0^b W(x+b-z)W^{(q)}(z)dz}{Z^{(q)}(b)} $，其中 $ \psi'(0+) > 0 $ 确保非确定性破产。
• 因触及 $ -b $ 导致的破产概率由一个涉及 $ Z^{(q)} $、$ W^{(q)} $ 和归一化积分的复杂表达式给出，归一化因子为 $ \frac{\psi'(0+) + q \int_0^b Z^{(q)}(y)dy}{Z^{(q)}(b)} $。
• 在 $ (-b,0) $ 内的破产概率作为其余两个概率的补集推导得出，其公式涉及 $ W $ 和 $ Z^{(q)} $ 的积分。
• 本结果通过为有限区间提供统一框架并借助 scale 函数实现显式计算，推广了以往关于半直线占用时间的研究。