[论文解读] Off-shell Partition Functions in 3d Gravity

Lorenz Eberhardt|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用 6

一句话总结

本文提出一种方法，利用几何量子化与等变上同调，在形如 $Σ \times S^1$ 的流形上计算三维手征引力中的非壳态划分函数。该方法建立了对虚假划分函数（即划分函数中非振荡部分）的拓扑递归关系，并通过局部化方法在低亏格情况下获得精确结果，为JT引力划分函数提供了一条基于等变局部化的全新计算路径。

ABSTRACT

We explore three-dimensional gravity with negative cosmological constant via canonical quantization. We focus on chiral gravity which is related to a single copy of $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ Chern-Simons theory and is simpler to treat in canonical quantization. Its phase space for an initial value surface $Σ$ is given by the appropriate moduli space of Riemann surfaces. We use geometric quantization to compute partition functions of chiral gravity on three-manifolds of the form $Σ imes \mathrm{S}^1$, where $Σ$ can have asymptotic boundaries. Most of these topologies do not admit a classical solution and are thus not amenable to a direct semiclassical path integral computation. We use an index theorem that expresses the partition function as an integral of characteristic classes over phase space. In the presence of $n$ asymptotic boundaries, we use techniques from equivariant cohomology to localize the integral to a finite-dimensional integral over $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$, which we evaluate in low genus cases. Higher genus partition functions quickly become complicated since they depend in an oscillatory way on Newton's constant. There is a precise sense in which one can isolate the non-oscillatory part which we call the fake partition function. We establish that there is a topological recursion that computes the fake partition functions for arbitrary Riemann surfaces $Σ$. There is a scaling limit in which the model reduces to JT gravity and our methods give a novel way to compute JT partition functions via equivariant localization.

研究动机与目标

• 计算在时空流形 $\Sigma \times S^1$ 上不具经典解的引力路径积分，即三维引力中的非壳态划分函数。
• 基于具有渐近边界的手征引力 $χ(\Sigma) \times S^1$ 流形，发展一套规范量子化框架。
• 通过几何与等变上同调技术，分离并计算划分函数的非振荡部分——称为“虚假划分函数”。
• 建立一个拓扑递归关系，用于计算任意亏格黎曼曲面 $\Sigma$ 的虚假划分函数。
• 通过尺度极限恢复JT引力划分函数，并提出一种基于局部化的新型计算方法。

提出的方法

• 采用手征引力的正则量子化，其约化为单个 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ 规范理论，将相空间定义为黎曼曲面的模空间。
• 应用几何量子化，即使在 $\Sigma \times S^1$ 上不存在经典解，也将划分函数计算为与 $\Sigma$ 相关的希尔伯特空间上的迹。
• 利用指标定理将划分函数表示为相空间上特征类的积分，从而实现精确计算。
• 通过等变上同调将积分局部化到紧化模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的有限维积分，尤其在低亏格情形下有效。
• 引入“虚假划分函数”作为划分函数中非振荡的部分，通过尺度极限分离，并利用拓扑递归进行计算。
• 推导出一个拓扑递归公式，用于计算任意亏格 $g$ 与 $n$ 个渐近边界曲面 $\Sigma$ 的虚假划分函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时空流形 $\Sigma \times S^1$ 上不存在经典解时，如何计算三维引力中的非壳态划分函数？
• RQ2 三维手征引力中划分函数的非振荡部分的精确数学结构是什么？如何将其分离？
• RQ3 能否为任意黎曼曲面 $\Sigma$ 建立一个计算虚假划分函数的拓扑递归关系？
• RQ4 所提出的方法在尺度极限下如何恢复JT引力的已知结果？
• RQ5 等变上同调与特征类在将划分函数积分局部化到有限维空间中起到何种作用？

主要发现

• 虚假划分函数被识别为全划分函数中不随牛顿常数振荡的部分，其行为依赖于牛顿常数的非振荡项。
• 建立了适用于任意亏格 $g$ 与 $n$-边界黎曼曲面 $\Sigma$ 的虚假划分函数的拓扑递归关系，推广了已知结果。
• 在低亏格情形下，通过局部化精确计算了虚假划分函数，对 $g=2$ 与 $n=1$ 情形，利用 $\mathscr{L}^k$ 的截面的希尔伯特系列导出了显式表达式。
• 在 $\overline{\mathcal{M}}_2$ 上，$\mathscr{L}^k$ 的全纯截面空间的希尔伯特系列计算为 $\frac{1}{1-t}\left(\frac{1}{(1-t^2)(1-t^3)(1-t^5)} - \frac{t}{(1-t^4)(1-t^6)(1-t^{12})}\right)$。
• 手征引力的尺度极限退化为JT引力，该方法为JT划分函数提供了基于局部化的新型计算方法。
• 截面环 $\mathscr{L}^k$ 由 $\alpha = A$，$\beta = B$，$\gamma = AB - 3C$，$\delta = D$ 生成，满足关系 $k = m + 2n + 3p + 5q$ 与 $m \leq 2n + 3p + 7q$。