[论文解读] Okounkov Bodies of Complexity-One T-Varieties

Lars Petersen|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过两种类型的 T-不变旗——一般旗与 торический 旗——计算了有理射影性复杂度为一的 T-簇的 Okounkov 体，证明了这些体是有理多面体。此外，本文证明了此类簇的全局 Okounkov 体是一个有理多面锥，通过除子扇和分段仿射函数在多面体除子上的应用，扩展了关于 торические 丛与 торические 簇的已有结果。

ABSTRACT

We compute Okounkov bodies of projective complexity-one T-varieties with respect to two types of invariant flags. In particular, we show that the latter are rational polytopes. Moreover, using results of Dave Anderson and Nathan Ilten, we briefly exhibit explicit links to degenerations and T-deformations. Finally, we prove that the global Okounkov body of a rational projective complexity-one T-variety is rational polyhedral.

研究动机与目标

• 将 Okounkov 体理论从 торические 簇与 торические 向量丛扩展到更广泛的有理射影性复杂度为一的 T-簇类。
• 建立在 T-不变旗下，Okounkov 体为有理多面体的结论，推广了在 торические 情形下的已知结果。
• 研究复杂度为一的 T-簇的全局 Okounkov 体结构，并证明其具有有理多面锥性质。
• 通过除子扇的组合数据，将 Okounkov 体与几何退化及 T-变形联系起来。
• 利用除子扇支持函数与对偶多面体结构，提供 Okounkov 体的显式组合描述。

提出的方法

• 利用除子扇与多面体除子对复杂度为一的 T-簇进行组合描述。
• 基于 T-不动点附近的局部商结构，构造两类 T-不变可接受旗——一般旗与 торический 旗。
• 将 Okounkov 体表示为由除子扇支持函数 $ h $ 导出的多面体 $ \Box_h $ 上的分段仿射线性函数 $ h^* $。
• 应用 Klyachko 滤子与 торические 退化结果，将 Okounkov 体与几何变形联系起来。
• 将全局 Okounkov 体构造为在有理多面锥基上，一个凹的、分段仿射线性函数的图像的闭包。
• 利用全局 Okounkov 体作为有理多面体截面的锥这一事实，推导出其有理多面锥性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 T-不变旗下，有理射影性复杂度为一的 T-簇的 Okounkov 体是否为有理多面体？
• RQ2 如何通过除子扇，组合地描述复杂度为一的 T-簇的全局 Okounkov 体？
• RQ3 在该类簇中，Okounkov 体与 T-变形或 торические 退化之间存在何种关系？
• RQ4 能否利用有效除子锥的结构与对偶函数，证明全局 Okounkov 体为有理多面锥？
• RQ5 这些结果如何推广关于 торических 向量丛与光滑射影 торic 簇的先前工作？

主要发现

• 在有理射影性复杂度为一的 T-簇上，对于 T-不变的大除子 $ D_h $，其在一般旗或 торический 旗下的 Okounkov 体 $ \Delta_{Y_\bullet}(D_h) $ 是一个有理多面体。
• Okounkov 体的结构通过由除子扇支持函数 $ h $ 导出的分段仿射线性函数 $ h^* $ 与多面体 $ \Box_h $ 显式描述。
• 全局 Okounkov 体 $ \Delta_{Y_\bullet}(\operatorname{TV}(\mathcal{S})) $ 是一个有理多面锥，其构造为在有理多面锥基上，一个凹的、分段仿射线性函数的图像的闭包。
• 全局 Okounkov 体由一般纤维 $ \operatorname{TV}(\operatorname{tail}\mathcal{S}) $ 的全局 Okounkov 体与对偶映射 $ \xi \mapsto \xi^* $ 决定，后者为分段仿射线性函数。
• 全局 Okounkov 体的有理多面锥结构源于对偶函数 $ \cdot^* $ 为仿射线性的线段的有限分解。
• 本研究推广了 González 在 торических 向量丛上的工作，表明即使在非 торic 的情形下，全局 Okounkov 体依然保持有理多面锥性质。