[论文解读] Cox rings of rational complexity one T-varieties

Klaus Altmann, Lars Petersen|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文在 $\mathbb{P}^1$ 的有限覆叠上构造了一个多面体除子 $π_{\operatorname{Cox}}$，用以描述具有一个复杂度的环面作用的莫里梦想空间 $X$ 的 Cox 环。通过利用 $\mathbb{P}^1$ 上度数为零的 $A$-除子，作者提供了一个组合框架，用于研究 $\operatorname{Cox}(X)$ 的环道与形变，将环道构造推广至有理 $T$-代数簇。

ABSTRACT

Let X be a Mori dream space together with an effective torus action of complexity one. In this note, we construct a polyhedral divisor on a suitable covering of the projective line P^1 which corresponds to the affine spectrum of the Cox ring of X. This description allows for a detailed study of torus orbits and deformations of the latter. Moreover, we present coverings of P^1 together with an action of a finite abelian group A in terms of so-called A-divisors of degree zero on P^1.

研究动机与目标

• 提供具有复杂度一环面作用的莫里梦想空间的 Cox 环的组合描述。
• 将环道构造——其中 Cox 环为多项式环——推广至非环道的有理 $T$-代数簇。
• 通过 $\mathbb{P}^1$ 的分支覆叠上的多面体除子，研究 $\operatorname{Cox}(X)$ 的环道与形变。
• 引入 $\mathbb{P}^1$ 上度数为零的 $A$-除子，作为描述具有群作用的有限阿贝尔覆叠的工具。
• 建立 $X$ 的 Cox 环与适当覆叠空间上的多面体除子 $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ 之间的对应关系。

提出的方法

• 作者利用 $p$-除子理论，将总坐标空间 $\operatorname{Spec}\operatorname{Cox}(X)$ 描述为一个仿射 $T$-代数簇。
• 他们在有限伽罗瓦覆叠 $q: \widetilde{Y} \to \mathbb{P}^1$ 上构造了一个多面体除子 $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$，其中群为 $A$，且 $\widetilde{Y}$ 为一条光滑的有理曲线。
• 该构造涉及通过表示提升除子类群 $\operatorname{Cl}(X)$，并利用截面 $s$ 在尾扇 $\sigma$ 中定义多面体系数 $\widetilde{\Delta}_p$。
• 多面体系数 $\widetilde{\Delta}_p$ 由 $X$ 上的有效锥与交点理论导出，确保与 $A$-作用相容。
• 对于 $\operatorname{Cl}(X)$ 中含挠元的簇，该方法通过 $A$-除子处理覆叠，其中 $A \cong \operatorname{Cl}(X)_{\text{tors}}$，且除子 $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ 在每一点的原像上具有阶数 $|A|$ 的重数。
• 由此得到的 $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ 是 $\widetilde{Y}$ 上点的多面体系数的 $\mathbb{Z}$-线性组合，编码了作为 $\operatorname{Cl}(X)$-分次代数的 Cox 环。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用多面体除子，对有理复杂度一 $T$-代数簇的 Cox 环进行组合描述？
• RQ2 有限阿贝尔覆叠 $\mathbb{P}^1$ 在实现此类簇的总坐标空间中起到什么作用？
• RQ3 在多面体除子框架下，环道与 $\operatorname{Cox}(X)$ 的形变如何体现？
• RQ4 在本情境中，$\mathbb{P}^1$ 上度数为零的 $A$-除子如何编码群作用与分支覆叠？
• RQ5 该构造能否恢复已知例子，如具有 $E_6$ 奇点的对数 del Pezzo 曲面？

主要发现

• 具有有理复杂度一 $T$-作用的代数簇 $X$ 的 Cox 环，通过 $\mathbb{P}^1$ 的有限覆叠上的多面体除子 $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ 实现为一个仿射 $T$-代数簇的坐标环。
• 对于三度 $E_6$-型对数 del Pezzo 曲面，多面体除子 $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ 的尾锥由 $(0,1)$ 和 $(-2,1)$ 生成，系数为 $\widetilde{\Delta}_0 = (0,-1/3)+\sigma$，$\widetilde{\Delta}_1 = (0,1/2)+\sigma$，以及 $\widetilde{\Delta}_\infty = \overline{(0,0),(-1/3,0)} + \sigma$。
• 对于具有 $A_2$-奇点的度一 $E_6$-型曲面，覆叠为三对一映射 $q: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$，分支点为 $0$ 和 $1$，且 $\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ 在每点原像上具有三重重数。
• 对数 del Pezzo 曲面六度情形的多面体除子的紧致部分 $\widetilde{\Delta}^c_0$ 是一个五维单形，反映出 Cox 环结构的复杂性。
• 当退化 $\mathbb{P}(\Omega_{\mathbb{P}^2})$ 的 Cox 环时，该方法无法产生多项式环，因为三个边的闵可夫斯基和生成一个三维立方体，表明总坐标环的非环道性质。
• 该构造推广了环道情形：当 $X$ 为环道时，$\mathcal{D}_{\operatorname{Cox}}$ 通过正象限恢复标准的扇分解。