[论文解读] On $4n$-dimensional neither pointed nor semisimple Hopf algebras and the associated weak Hopf algebras

Chen Jia-lei, Shilin Yang+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文构建并分析了与一类 $4n$-维非点状、非半单的霍普夫代数 $H_{4n}$ 相关的弱霍普夫代数 $\mathfrak{w}H_{4n}$，证明了 $H_{4n}$ 是拟三角形的，并显式给出了其通用 $R$-矩阵。通过生成元与关系，建立了 $H_{4n}$ 及其弱对偶的格林环，揭示了即使 $H_{4n}$ 的格林环是交换的，$\mathfrak{w}H_{4n}^*$ 的格林环也可能是非交换的。

ABSTRACT

For a class of neither pointed nor semisimple Hopf algebras $H_{4n}$ of dimension $4n$, it is shown that they are quasi-triangular, which universal $R$-matrices are described. The corresponding weak Hopf algebras $\mathfrak{w}H_{4n}$ and their representations are constructed. Finally, their duality and their Green rings are established by generators and relations explicitly. It turns out that the Green rings of the associated weak Hopf algebras are not commutative even if the Green rings of $H_{4n}$ are commutative.

研究动机与目标

• 研究非点状且非半单的 $4n$-维霍普夫代数 $H_{4n}$ 的表示理论。
• 从 $H_{4n}$ 及其对偶构造相关的弱霍普夫代数 $\mathfrak{w}H_{4n}$ 及其对偶 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$。
• 通过生成元与关系，显式描述 $H_{4n}$、$\mathfrak{w}H_{4n}$、$H_{4n}^*$ 和 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$ 的格林环。
• 分析 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$ 的格林环的非交换性，即使 $H_{4n}$ 的格林环是交换的。

提出的方法

• 通过使用一个 $2n$-次单位根 $q$ 的原始根，利用生成元与关系定义 $H_{4n}$，确立其作为非点状、非半单霍普夫代数的结构。
• 通过显式构造生成元的代数关系，证明 $H_{4n}$ 是拟三角形的，给出所有通用 $R$-矩阵。
• 使用标准构造方法，从 $H_{4n}$ 构造弱霍普夫代数 $\mathfrak{w}H_{4n}$，该方法将余乘法与余元扩展为弱结构。
• 通过分析不可约模的张量积并识别同构类之间的关系，显式计算格林环 $r(H_{4n})$。
• 使用对应于不可约模的生成元和来自模分解的关系，构造表示环 $r(\mathfrak{w}H_{4n})$ 及其对偶 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$。
• 建立格林环与自由非交换代数的商环之间的同构，其中理想由显式关系生成，从而证明 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$ 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 非点状、非半单的 $4n$-维霍普夫代数 $H_{4n}$ 是否是拟三角形的？如果是，其通用 $R$-矩阵是什么？
• RQ2 如何从 $H_{4n}$ 构造弱霍普夫代数 $\mathfrak{w}H_{4n}$，其表示理论性质是什么？
• RQ3 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$ 的格林环结构如何？与 $H_{4n}$ 的格林环有何不同？
• RQ4 为何 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$ 的格林环是非交换的，即使 $r(H_{4n})$ 是交换的？

主要发现

• 霍普夫代数 $H_{4n}$ 是拟三角形的，所有通用 $R$-矩阵均以它的生成元和原始的 $2n$-次单位根 $q$ 显式描述。
• 弱霍普夫代数 $\mathfrak{w}H_{4n}$ 从 $H_{4n}$ 构造而成，其表示环 $r(\mathfrak{w}H_{4n})$ 通过生成元与关系描述。
• 格林环 $r(H_{4n})$ 是交换的，但弱霍普夫代数对偶 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$ 的格林环是非交换的，这是关键的结构性差异。
• 格林环 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$ 同构于商环 $\mathbb{Z}\langle Y,Z,X_j,W\rangle/I$，其中 $I$ 是由涉及 $Y^2-1$、$Z^2-Z-YZ$ 和 $X_j$-关系的显式关系生成的理想。
• $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$ 的 $\mathbb{Z}$-基由 $\{a_j, b^i c^k \mid 1\leq j\leq n-1, i,k=0,1\} \cup \{b^i d \mid i=0,1\}$ 给出，其中 $b = M[1,n]$，$c = M[2,0]$，$a_j = P_j$，$d = N_0$。
• 表示环 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$ 由 $b$、$c$、$d$ 和 $a_j$ 生成，非交换性源于商环中的关系 $X_1 Y - Y X_1 \neq 0$ 和 $X_1 W - W Y \neq 0$。