[论文解读] On a class of fully nonlinear elliptic equations on closed Hermitian manifolds

Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文建立了闭 Hermitian 流形上一类完全非线性椭圆方程的 $C^∞$ 先验估计，并证明了在锥条件 $\mathscr{C}_\alpha(\psi)$ 下光滑可容许解的存在性。通过引入一种新型 Hermitian 度量，并在锥条件 $\mathscr{C}_\alpha(\psi)$ 下应用连续法，作者解决了在 Kähler 设置之外求解复 Monge-Ampère 型方程的长期挑战。

ABSTRACT

We study a class of fully nonlinear elliptic equations on closed Hermitian manifolds. We derive $C^\infty$ {\em a priori} estimates, and then prove the existence of admissible solutions. In the approach, a new Hermitian metic is constructed to launch the method of continuity.

研究动机与目标

• 为闭 Hermitian 流形上一类完全非线性椭圆方程建立 $C^\infty$ 先验估计。
• 在锥条件 $\mathscr{C}_\alpha(\psi)$ 下证明方程 (1.1) 光滑可容许解的存在性。
• 通过构造一种新型 Hermitian 度量，将连续法推广至非 Kähler Hermitian 设置。
• 克服先前方法在复 Monge-Ampère 型方程中缺乏平衡或 Kähler 条件的局限性。
• 将 Kähler 情形下的结果推广至一般 Hermitian 流形，扩大复几何方程可解性的适用范围。

提出的方法

• 推导出形式为 $\Delta u + \operatorname{tr}\chi \leq C e^{A(u - \inf_M u)}$ 的精确 $C^2$ 估计，优于先前的界。
• 应用 Phong 和 Sturm 提出的关键技巧，避免了对条件 $d\chi \wedge \omega^{n-2} = 0$ 的依赖。
• 构造一种新型 Hermitian 度量，使连续法能够在一般 Hermitian 流形上有效运行，这对求解方程至关重要。
• 分两个阶段应用连续法：首先在 $\chi \in \mathscr{C}_\alpha(\psi)$ 下找到初始解，然后变形至目标方程。
• 利用 Evans-Krylov 理论和 Schauder 估计，从改进的 $C^2$ 估计推导出更高阶的 $C^\infty$ 估计。
• 应用最大值原理和一致锥条件，确保在连续路径上的一致估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设平衡或 Kähler 条件下，为闭 Hermitian 流形上完全非线性椭圆方程建立 $C^\infty$ 先验估计？
• RQ2 如何将连续法适配于在一般 Hermitian 流形上求解复 Monge-Ampère 型方程？
• RQ3 锥条件 $\mathscr{C}_\alpha(\psi)$ 在确保方程 (1.1) 可解性方面起什么作用？
• RQ4 能否构造一种新型 Hermitian 度量，以促进在非 Kähler 设置下连续法的应用？
• RQ5 当 $\chi$ 和 $\omega$ 均为 Kähler 时，方程 (1.1) 在何种条件下存在光滑可容许解？

主要发现

• 本文在锥条件 $\mathscr{C}_\alpha(\psi)$ 下，为方程 (1.1) 的光滑解建立了 $C^\infty$ 先验估计，这对存在性结果至关重要。
• 构造了一种新型 Hermitian 度量，使连续法能够在一般 Hermitian 流形上运行，即使 $\chi$ 和 $\omega$ 均为 Kähler 时亦然。
• 推导出精确的 $C^2$ 估计 $\Delta u + \operatorname{tr}\chi \leq C e^{A(u - \inf_M u)}$，优于文献 [18] 中的先前估计。
• 在条件 $\frac{\chi^n}{\chi^{n-\alpha} \wedge \omega^\alpha} \leq \psi$ 下，通过连续法证明了方程 (1.1) 存在解（至多相差一个常数倍）。
• 当 $\chi$ 和 $\omega$ 均为 Kähler 时，分两个阶段应用连续法，恢复了 Donaldson 的问题，证实了在锥条件下的可解性。
• 结果将先前关于复 Monge-Ampère 方程的工作推广至非 Kähler Hermitian 流形，揭示了新度量构造下连续法的更广泛应用性。