[论文解读] On a class of polynomial Lagrangians

Marcella Palese, Raffaele Vitolo|ArXiv.org|Nov 9, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文引入并分析了一类新的多项式拉格朗日量——称为“特殊拉格朗日量”——其定义为喷层空间上低阶形式的水平化。基于变分双复形框架，本文证明这些拉格朗日量可唯一确定皮卡罗-嘉当形式、欧拉-拉格朗日形式与动量，其中希爾伯特-艾因斯坦拉格朗日量作为关键实例，其生成形式的动量为零，揭示了在变分序列形式下广义相对论中的深层几何结构。

ABSTRACT

In the framework of finite order variational sequences a new class of Lagrangians arises, namely, \emph{special} Lagrangians. These Lagrangians are the horizontalization of forms on a jet space of lower order. We describe their properties together with properties of related objects, such as Poincaré--Cartan and Euler--Lagrange forms, momenta and momenta of generating forms, a new geometric object arising in variational sequences. Finally, we provide a simple but important example of special Lagrangian, namely the Hilbert--Einstein Lagrangian.

研究动机与目标

• 定义并表征一类新的多项式拉格朗日量——'特殊拉格朗日量'——作为有限阶喷层空间中低阶形式的水平化。
• 阐明在变分序列背景下皮卡罗-嘉当形式、欧拉-拉格朗日形式与动量的几何结构。
• 建立一个严谨的框架，用于利用变分双复形与水平化计算这些对象。
• 通过一个物理上重要的实例——广义相对论中的希爾伯特-艾因斯坦拉格朗日量——演示该理论。
• 探讨生成形式的动量作为多辛场论中潜在的新几何对象的作用。

提出的方法

• 基于克鲁普卡理论的有限阶变分序列框架，从德拉姆复形与水平化构造变分双复形。
• 将特殊拉格朗日量定义为 r 阶 n-形式的水平化，建立 n-形式的商空间与 (r+1) 阶特殊拉格朗日量之间的同构关系。
• 应用水平化与格林公式的几何版本，将生成的 (n+1)-形式分解为欧拉-拉格朗日形式与全微分项。
• 引入并分析“生成形式的动量”作为水平化微分的散度部分，证明其在特定条件下的唯一性。
• 利用变分双复形的交换性，推导出欧拉-拉格朗日形式的替代表达式。
• 以希爾伯特-艾因斯坦拉格朗日量作为具体实现，显式计算其皮卡罗-嘉当形式、动量与欧拉-拉格朗日形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 作为低阶形式水平化的特殊拉格朗日量的几何与代数性质是什么？
• RQ2 如何利用变分双复形唯一表征特殊拉格朗日量的皮卡罗-嘉当形式？
• RQ3 在变分序列框架中，生成形式的动量的作用与唯一性是什么？
• RQ4 希爾伯特-艾因斯坦拉格朗日量如何体现该理论，特别是其动量与欧拉-拉格朗日形式方面？
• RQ5 生成形式的动量是否可能为零？这对其理论几何结构意味着什么？

主要发现

• 阶数为 r+1 的特殊拉格朗日量与喷层空间 JrY 上 n-形式的商空间在水平化下同构。
• 特殊拉格朗日量 λ 的皮卡罗-嘉当形式 θ 唯一由以下三个条件表征：h(θ) = λ，v(θ) ∈ 1C2r ∧ n−1H2r，且 h(dθ) = Eh(dθ)，这允许在 h(dθ) 上选择零动量。
• 当生成形式阶数为 2 或当 dim X = 1 时，动量唯一确定；当阶数为 3 时，可自然选择。
• 希爾伯特-艾因斯坦拉格朗日量 λHE 是阶数为 2 的特殊拉格朗日量，其皮卡罗-嘉当形式 θλHE 满足 h(θλHE) = λHE。
• 希爾伯特-艾因斯坦拉格朗日量的欧拉-拉格朗日形式 EdλHE 等于爱因斯坦张量 G = R − 1/2 s g，且可通过直接计算与双复形方法一致得出。
• 自然生成形式 h(dθλHE) 的动量为零形式，这是广义相对论几何结构所特有的唯一特征。