[论文解读] On a conjecture about maximum scattered subspaces of $\mathbb{F}_{q^6} imes \mathbb{F}_{q^6}$

Daniele Bartoli, Bence Csajbók+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文证明，在 $γ\mathrm{GL}(2,q^6)$ 作用下，形式为 $U_b = \{(x, bx^q + x^{q^4}) : x \in \mathbb{F}_{q^6}\}$ 的最大散射子空间在 $\mathbb{F}_{q^6} \times \mathbb{F}_{q^6}$ 中恰好有 $\lfloor(q^2+q+1)(q-2)/2\rfloor$ 个等价类。该结果验证了 Csajbók、Marino、Polverino 和 Zanella 于 2018 年提出的关于此类子空间分类的猜想，通过代数几何与迹条件，利用多项式根分析表征等价类。

ABSTRACT

Maximum scattered subspaces are not only objects of intrinsic interest in finite geometry but also powerful tools for the construction of MRD-codes, projective two-weight codes, and strongly regular graphs. In 2018 Csajbók, Marino, Polverino, and Zanella introduced a new family of maximum scattered subspaces in $\mathbb{F}_{q^6} imes \mathbb{F}_{q^6}$ arising from polynomials of type $f_b(x)=bx^q+x^{q^4}$ for certain choices of $b \in \mathbb{F}_{q^6}$. Throughout characterizations for $f_{b_2}(x)$ and $f_{b_1}(x)$ giving rise to equivalent maximum scattered subspaces, the authors conjectured that the portion of new and inequivalent maximum scattered subspaces obtained in this way is quite large. In this paper first we find necessary and sufficient conditions for $b$ to obtain a maximum scattered subspace. Such conditions were found independently with different techniques also by Polverino and Zullo 2019. Then we prove the conjecture on the number of new and inequivalent maximum scattered subspaces of this family.

研究动机与目标

• 解决 Csajbók 等人（2018 年）的猜想 7.5，即关于形式为 $U_b = \{(x, bx^q + x^{q^4})\}$ 的非等价最大散射子空间的数量。
• 确定对任意素幂 $q$，此类子空间的 $\mathrm{GL}(2,q^6)$-等价类的确切数量。
• 通过关联 $q$-多项式核分析，建立 $b \in \mathbb{F}_{q^6}$ 使得 $U_b$ 为最大散射的必要与充分条件。
• 通过代数几何技术（特别是迹条件与有限域中根的计数）对这些子空间进行分类。

提出的方法

• 通过分析 $\mathbb{F}_{q^6}$ 上 $q$-多项式 $r_{m,b}(x) = mx + bx^q + x^{q^4}$ 的核，表征最大散射子空间 $U_b$，要求对所有 $m \in \mathbb{F}_{q^6}$，有 $\dim_{\mathbb{F}_q}(\ker r_{m,b}) \leq 1$。
• 利用 $\mathbb{F}_q$ 上的迹恒等式，推导出确保核条件的 $b$ 的条件，特别关注 $\mathrm{Tr}_{q/2}(\alpha) = 0$ 对某些属于 $L \in \mathbb{F}_{q^2} \setminus \mathbb{F}_q$ 的有理函数成立的情况。
• 在 $\mathbb{F}_q$ 上计数满足由核约束导出的迹条件的三次多项式方程 $F(T) = (T+K)(T+L)(T+L^q)$ 的解。
• 根据在 $\mathbb{F}_q$ 中的不同根数（0、1、2 或 3 个根）对解进行分类，并利用组合与代数几何论证计算各类解的数量。
• 应用不可约圆锥曲线与有理点的结果，计数形如 $K^2(U^2+U) = V(K+1)$ 的仿射解，其中 $V = L^2/(L^2+1)$。
• 将满足迹条件的不可约、三次及重根多项式的计数结果合并，计算出有效 $b$-参数的总数，从而得出最终的等价类计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{F}_{q^6} \times \mathbb{F}_{q^6}$ 中，最大散射子空间 $U_b = \{(x, bx^q + x^{q^4})\}$ 的 $\mathrm{GL}(2,q^6)$-等价类有多少个？
• RQ2 $b \in \mathbb{F}_{q^6}$ 的必要与充分条件是什么，使得 $U_b$ 为最大散射？
• RQ3 此类等价类的数量如何依赖于 $q$？是否与猜想公式 $\lfloor(q^2+q+1)(q-2)/2\rfloor$ 一致？
• RQ4 这些子空间的分类能否简化为在有限域上迹方程解的计数？

主要发现

• 最大散射子空间 $U_b$ 的 $\mathrm{GL}(2,q^6)$-等价类数量恰好为 $\lfloor(q^2 + q + 1)(q - 2)/2\rfloor$，证实了 Csajbók 等人（2018 年）的猜想 7.5。
• 对于 $b \in \mathbb{F}_{q^6}$，子空间 $U_b$ 为最大散射当且仅当 $q$-多项式 $r_{m,b}(x) = mx + bx^q + x^{q^4}$ 对所有 $m \in \mathbb{F}_{q^6}$ 满足 $\mathbb{F}_q$-核的维数至多为 1。
• 有效 $b$-参数的总数对应于 $3\gamma_0 + \frac{q - 2\gcd(n,2)}{2}$，其中 $\gamma_0$ 为满足迹条件的不可约三次多项式数量，且 $\gamma_0 = \frac{q^3 - q^2 - 2q + 2\gcd(n,2) - 2}{6}$。
• 当 $q$ 为偶数时，等价类数量恰好为 $\frac{1}{2}(q^3 - q^2 - q - 2)$，该结果通过合并满足迹条件的在 $\mathbb{F}_q$ 中有 0、1、2 或 3 个根的多项式计数得出。
• 该分类依赖于对形如 $U \in \mathbb{F}_q$ 的方程解的计数，例如 $U^2 + U = \frac{1}{K+1}$，其中 $K \in \mathbb{F}_q \setminus \{0,1\}$，并通过圆锥几何分析其解的数量。
• 该结果建立了这些子空间在线性等价下的完整分类，为构造新的 MRD 码、两权投影码及强正则图提供了基础步骤。