[论文解读] On a Heegaard Floer theory for tangles

Claudius Zibrowius|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种针对三球中辫子的局部赫加德弗洛尔同调理论，记为 $\widehat{HFT}$，该理论对特定于辫子的亚历山大多项式 $\nabla_T^s$ 实现了范畴化。通过塞弗弗洛尔同调与边界塞弗尔技术构建了 $\widehat{HFT}$，证明了粘合定理，并展示了通过 (2,−3)-双锥辫子进行康韦突变的互相关联的辫子具有相同的 $\delta$-分次链弗洛尔同调，且经计算验证。该理论进一步针对四端点辫子进行专门化，利用“特殊模”（peculiar modules）恢复了 skein 关系，并支持了关于 $\delta$-分次突变不变性的猜想。

ABSTRACT

The purpose of this thesis is to define a "local" version of Ozsváth and Szabó's Heegaard Floer homology $\operatorname{\widehat{HFL}}$ for links in the 3-dimensional sphere, i.e. a Heegaard Floer homology $\operatorname{\widehat{HFT}}$ for tangles in the closed 3-ball. After studying basic properties of $\operatorname{\widehat{HFT}}$ and its decategorified tangle invariant $ abla_T^s$, we prove a glueing theorem in terms of Zarev's bordered sutured Floer homology, which endows $\operatorname{\widehat{HFT}}$ with an additional glueing structure. For 4-ended tangles, we repackage this glueing structure into certain curved complexes $\operatorname{CFT}^\partial$, which we call peculiar modules. This allows us to easily recover oriented and unoriented skein relations for $\operatorname{\widehat{HFL}}$. Our peculiar modules enjoy some symmetry properties, which support a conjecture about $δ$-graded mutation invariance of $\operatorname{\widehat{HFL}}$. In fact, we show that any two links related by mutation about a $(2,-3)$-pretzel tangle have the same $δ$-graded link Floer homology. In the last part of this thesis, we explore the relationship between peculiar modules and twisted complexes in the fully wrapped Fukaya category of the 4-punctured sphere. This thesis is accompanied by two Mathematica packages. The first is a tool for computing the generators of $\operatorname{\widehat{HFT}}$ and its decategorified tangle invariant $ abla_T^s$. The second allows us to compute Zarev's bordered sutured Floer invariants of any bordered sutured manifold using nice diagrams.

研究动机与目标

• 开发一种针对三球中辫子的局部范畴化不变量，扩展奥兹瓦斯-萨博的链弗洛尔同调理论。
• 利用塞弗尔同调与边界塞弗尔同调框架，定义辫子弗洛尔同调 $\widehat{HFT}$。
• 证明 $\delta$-分次链弗洛尔同调在涉及 (2,−3)-双锥辫子的康韦突变下保持不变。
• 通过“特殊模”研究四端点辫子的 $\widehat{HFT}$ 结构，及其代数与几何性质。
• 探究特殊模与四阶穿孔球面的扭曲福克亚范畴之间的联系。

提出的方法

• 通过凯夫曼态与亚历山大多项式编码，定义一个组合式辫子不变量 $\nabla_T^s$，作为 $\widehat{HFT}$ 的去范畴化版本。
• 通过辫子的海格德图构造 $\widehat{HFT}(T,s)$ 为双分次链复形，其同伦类型与图的选择无关。
• 利用祖哈斯的塞弗尔同调与扎雷夫的边界塞弗尔同调，以两种等价方式定义 $\widehat{HFT}$。
• 利用边界塞弗尔同调建立粘合定理，使能从辫子不变量计算链弗洛尔同调 $\widehat{HFL}$。
• 引入“特殊模”作为四端点辫子的 $\widehat{HFT}$ 的重表述，以代数方式编码粘合结构。
• 在 Mathematica 中实现计算工具（APT.m 与 BSFH.m），用于计算生成元、结构映射，并对 $\widehat{HFT}$ 复形执行消去与同伦操作。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为三球中的辫子定义一种类似于链弗洛尔同调 $\widehat{HFL}$ 的局部赫加德弗洛尔同调理论？
• RQ2 是否 $\widehat{HFT}$ 的去范畴化结果能给出一个推广亚历山大多项式的辫子不变量？
• RQ3 在涉及 (2,−3)-双锥辫子的突变下，$\delta$-分次链弗洛尔同调是否保持不变？
• RQ4 能否通过一种新的代数对象——“特殊模”——来捕捉四端点辫子的 $\widehat{HFT}$ 结构，使其能恢复 skein 关系？
• RQ5 特殊模与四阶穿孔球面的扭曲福克亚范畴之间存在何种关系？

主要发现

• 辫子弗洛尔同调 $\widehat{HFT}(T,s)$ 在双分次链同伦等价意义下是良定义的，为具有位点结构的辫子提供了拓扑不变量。
• 对 $\widehat{HFT}$ 的去范畴化得到一个多元多项式 $\nabla_T^s$，该多项式对四端点辫子具有突变不变性。
• 任何通过 (2,−3)-双锥辫子进行康韦突变关联的两个链，其 $\delta$-分次链弗洛尔同调完全相同，经计算机辅助计算验证。
• 四端点辫子的特殊模能恢复 $\widehat{HFL}$ 的有向与无向 skein 关系，证明了其在重构链不变量方面的实用性。
• 特殊模满足对称性关系，支持关于 $\widehat{HFL}$ 的 $\delta$-分次突变不变性的猜想，尽管完整证明仍需更强的对称性。
• 建立了特殊模与四阶穿孔球面的扭曲福克亚范畴中扭曲复形之间的深刻联系，暗示了代数不变量的几何解释。