[论文解读] On a new class of infinitesimal group actions on pseudo-Riemannian manifolds

Sigbjørn Hervik|arXiv (Cornell University)|May 23, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文引入了Nil-Killing向量场——其度量的李导数为幂零的向量场——作为一种新的几何结构，用以解释为何某些伪黎曼流形是$χ$-退化（即具有相同的多项式曲率不变量）。通过推广Killing向量场，这些向量场生成保持所有标量曲率不变量的微分同胚的一参数群，从而为CSI（常标量曲率不变量）时空提供了一种局部机制。关键贡献在于，所有已知的$χ$-退化例子均具有此类Nil-Killing李代数，为它们的CSI性质提供了一个统一解释，超越了局部齐性。

ABSTRACT

Using the Lie derivative of the metric we define a class of Lie algebras of vector fields by generalising the concept of Killing vectors. As a Lie algebra they define locally a group action on the pseudo-Riemannian manifold through exponentiation. The motivation behind studying these infinitesimal group actions is the investigation of $\mathcal{I}$-degenerate pseudo-Riemannian spaces, i.e., spaces having identical polynomial curvature invariants. In particular, we show that all the known examples of $\mathcal{I}$-degenerate pseudo-Riemannian spaces possess such vector fields.

研究动机与目标

• 解释非局部齐性的伪黎曼流形（特别是中性符号差时空）的CSI（常标量曲率不变量）性质。
• 识别一类新的向量场——Nil-Killing场——其保持所有多项式曲率不变量，从而推广Killing向量场。
• 建立一个局部几何机制（通过Nil-Killing场的李代数），确保曲率不变量在微分同胚下保持不变。
• 为理解已知的$χ$-退化度量（包括四维中性符号差下缺乏足够Killing向量场的度量）提供一个统一框架。

提出的方法

• 将$χ$-保持微分同胚（IPD）定义为使所有标量多项式曲率不变量保持不变的微分同胚。
• 通过要求度量的李导数在切丛上为幂零自同态的条件，引入Nil-Killing向量场。
• 将Nil-Killing李代数构造为一类向量场的有限维李代数，其度量李导数为幂零算子。
• 证明此类向量场生成一参数IPD群，意味着曲率不变量在其流下保持不变。
• 展示已知的$χ$-退化度量（例如中性符号差下的度量）可由坐标向量场如$\partial_{v_i}$张成的阿贝尔或可解Nil-Killing李代数实现。
• 通过坐标变换和极限方法，证明度量李导数的幂零性在所有点成立，从而确保相关算子的全局幂零性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Nil-Killing向量场的集合在何种条件下构成李代数？
• RQ2 一般伪黎曼空间是否至少存在一个非Killing的Nil-Killing向量场？
• RQ3 非Killing的Nil-Killing向量场的存在是否意味着时空是$χ$-退化的？
• RQ4 对于两个具有相同曲率不变量的$χ$-退化度量，它们是否必然具有同构的最大Nil-Killing李代数？
• RQ5 Nil-Killing向量场在何种条件下生成$χ$-保持微分同胚（IPD）？

主要发现

• 所有已知的$χ$-退化伪黎曼流形例子，包括仅具有三个Killing向量的四维中性符号差度量，均具有传递的Nil-Killing向量场集合。
• 度量$ds^2 = 2du(dv + V du) + 2dU(dV + b v^4 dU)$由于存在一个五维可解Nil-Killing李代数（包含$\partial_u, \partial_v, \partial_U, \partial_V$和$\xi_5 = -u\partial_u + v\partial_v - 2U\partial_U + 2V\partial_V$）而被证明是CSI。
• 沿每个Nil-Killing向量场的度量李导数为幂零自同态，确保度量导数的所有多项式不变量为零，从而意味着曲率不变量在其流下保持不变。
• 在一般$χ$-退化度量类中，向量场$\partial_{v_i}$生成保持所有曲率不变量的平移，构成一个维数等于$O(p,q)$实秩的阿贝尔Nil-Killing李代数。
• 极限$\lim_{t\to\infty} \phi_t^* n_{ab} = 0$确认算子$n_{ab}$在每一点均为幂零，从而全局验证了幂零性条件。
• 一般$χ$-退化度量类（12）的构造表明$\mathcal{N} = \mathrm{span}\{\partial_{v_1}, \dots, \partial_{v_k}\}$是一个Nil-Killing李代数，从而提供了一种系统生成此类空间的方法。