[论文解读] On a new unified geometric description of gravity and electromagnetism

Nicoleta Voicu|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2011

Advanced Differential Geometry Research被引用 4

一句话总结

本文通过在时空的切丛 $TM$ 上的联络的里奇标量表述爱因斯坦-麦克斯韦拉格朗日量，提出了一种引力与电磁学的统一几何框架。通过构建保持体积和散度性质的 $TM$ 上的度量完备化，作者证明了 1 参数族联络 $\overset{\alpha}{D}$ 的里奇标量在动力学上等价于标准的爱因斯坦-麦克斯韦作用量，从而可通过变分原理推导出完整的场方程与守恒律。

ABSTRACT

In a previous paper, we have introduced a new unified description of the main equations of the gravitational and of the electromagnetic field, in terms of tidal tensors and connections on the tangent bundle TM of the space-time manifold. In the present work, we relate these equations to variational procedures on the tangent bundle. The Ricci scalar of the proposed connection is dynamically equivalent to the usual Einstein-Maxwell Lagrangian. Also, in order to be able to perform these variational procedures, we find an appropriate completion of the metric tensor (from the base manifold) up to a metric structure on TM.

研究动机与目标

• 通过时空的切丛 $TM$ 实现引力与电磁学的几何统一，避免引入额外维度。
• 通过构造 $TM$ 上的联络，使其里奇标量重现爱因斯坦-麦克斯韦拉格朗日量，从而将电磁应力-能量张量嵌入爱因斯坦张量中。
• 在 $TM$ 上定义体积元与度量完备化，以保持基流形量的积分等价性与散度性质。
• 从 $TM$ 上的单一变分原理推导出爱因斯坦场方程、洛伦兹力定律与世界线偏离方程。
• 在 $TM$ 上建立对应于标准相对论中能量-动量守恒的守恒律。

提出的方法

• 在切丛 $TM$ 上引入 1 参数族联络 $(\overset{\alpha}{N}, \overset{\alpha}{D})$，其中 $\overset{\alpha}{N}$ 为埃勒斯曼联络，$\overset{\alpha}{D}$ 为仿射联络。
• 通过 $TM$ 上的测地线偏离定义潮汐张量，借助联络 $\overset{\alpha}{D}$ 将其与电磁场张量 $F_{ij}$ 关联。
• 构造 $TM$ 上的度量完备化，使得 $M$ 上函数的积分与 $\Delta \times \tilde{\Delta}$ 上的积分一致，从而保持体积与散度结构。
• 推导 $\overset{\alpha}{D}$ 的里奇标量 $\tilde{R}$，并证明其在动力学上等价于爱因斯坦-麦克斯韦拉格朗日量：$\tilde{R} = r + \frac{3\alpha^2}{2}F_{ij}F^{ij}$。
• 在 $TM$ 上执行变分程序，推导出广义爱因斯坦张量 $\mathcal{G}_{ij} = \tilde{R}_{ij} - \frac{1}{2}\tilde{R}g_{ij} + \mathcal{B}_{ij}$，其中包含电磁贡献。
• 证明 $\overset{\alpha}{D}$ 的比安基恒等式与麦克斯韦方程共同导出守恒律 $\nabla_j(\mathcal{G}^{ij} - \frac{8\pi k}{c^4}\overset{m}{T}^{ij}) = 0$ 在 $TM$ 上成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 爱因斯坦-麦克斯韦拉格朗日量能否作为切丛 $TM$ 上联络的里奇标量在几何上实现？
• RQ2 如何构造 $TM$ 上的度量结构，使得基流形上的积分与散度性质得以保持？
• RQ3 带电粒子的运动方程及其偏离能否从 $TM$ 上的单一联络推导而出？
• RQ4 由 $\overset{\alpha}{D}$ 导出的广义爱因斯坦张量是否能重现包含电磁应力-能量张量的标准爱因斯坦场方程？
• RQ5 在 $M$ 上的能量-动量守恒是否等价于 $TM$ 框架中广义爱因斯坦张量 $\mathcal{G}_{ij}$ 的散度为零条件？

主要发现

• 联络 $\overset{\alpha}{D}$ 的里奇标量 $\tilde{R}$ 在动力学上等价于爱因斯坦-麦克斯韦拉格朗日量：$\tilde{R} = r + \frac{3\alpha^2}{2}F_{ij}F^{ij}$。
• 当 $\alpha^* = \sqrt{2k/(3c^4)}$ 时，里奇标量 $\tilde{R}(\alpha^*)$ 给出标准的爱因斯坦-麦克斯韦作用量：$S_{fg}(\alpha^*) = -\frac{c^3}{16\pi k}\int (r + \frac{k}{c^4}F_{ij}F^{ij})\sqrt{-g}d^4x$。
• 广义爱因斯坦张量 $\mathcal{G}_{ij} = \tilde{R}_{ij} - \frac{1}{2}\tilde{R}g_{ij} + \mathcal{B}_{ij}$ 通过 $\mathcal{B}_{ij} = \frac{3}{2}\frac{B^lB_l}{\|y\|^2} + \frac{1}{2}B_h^i B_i^h$ 包含电磁贡献。
• 包含物质的爱因斯坦场方程可表示为 $\mathcal{G}_{ij} = \frac{8\pi k}{c^4}\overset{m}{T}_{ij}$，其中 $\overset{m}{T}_{ij}$ 为物质应力-能量张量。
• 守恒律 $\nabla_j(\mathcal{G}^{ij} - \frac{8\pi k}{c^4}\overset{m}{T}^{ij}) = 0$ 在 $TM$ 上成立，这是比安基恒等式与麦克斯韦方程的直接推论。
• 带电粒子的运动方程为 $\frac{\overset{\alpha}{D}y^i}{dt} = 0$，世界线偏离方程为 $\frac{\overset{\alpha}{D}^2 w^i}{dt^2} = \overset{\alpha}{E}_j^i w^j$，其中 $\alpha = \frac{q}{mc^2}$。