[论文解读] On a notion of anticanonical class for families of convex polytopes

Kiumars Kaveh, Elise Villella|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文通过Ehrhart-Macdonald对偶性与多面体代数，将与代数群作用相关的凸多面体族的反典范类推广为组合意义下的形式。研究证明了反典范虚拟多面体唯一存在，并对应于群紧化中线丛的陈类，将经典环道结果推广至旗流形与球对称流形，借助Gelfand-Zetlin与Newton-Okounkov多面体实现。

ABSTRACT

The purpose of this note is to give a generalization of the statement that the anticanonical class of a (smooth) projective toric variety is the sum of invariant prime divisors, corresponding to the rays in its fan (or facets in its polytope), to some other classes of varieties with algebraic group actions. To this end, we suggest an analogue of the notion of anticanonical class (of a compact complex manifold) for linear families of convex polytopes. This is inspired by the Serre duality for smooth projective varieties as well as the Ehrhart-Macdonald reciprocity for rational polytopes. The main examples we have in mind are: (1) The family of polytopes normal to a given fan (which corresponds to the case of toric varieties). (2) The family of Gelfand-Zetlin polytopes (which corresponds to the case of the flag variety). (3) The family of Newton-Okounkov polytopes for a (smooth) group compactification.

研究动机与目标

• 将光滑射影环道概形的反典范类概念推广至具有群作用的更广泛代数概形类别。
• 通过Ehrhart-Macdonald对偶性，为线性凸多面体族定义对应于反典范类的虚拟多面体。
• 通过Gelfand-Zetlin与Newton-Okounkov多面体，将经典环道结果（反典范类为不变除子之和）推广至旗流形、球对称流形与群紧化。
• 利用多面体代数与虚拟多面体，为典范类提供凸几何与组合解释。

提出的方法

• 在G-线化Picard群的全维有理锥上，定义有理凸多面体的线性族。
• 利用多面体的Ehrhart函数，匹配线丛全局截面的Hilbert函数。
• 引入线性族的多面体代数，以建模上同调与交比理论结构。
• 通过条件：对锥内部的γ，Δ(γ)的相对内部中的格点数等于Δ(γ−κ)中的格点数，定义反典范虚拟多面体。
• 利用Gelfand-Zetlin与Newton-Okounkov多面体的可加性，将从表示到多面体的映射线性延拓。
• 证明反典范虚拟多面体的唯一性，并在群紧化情形中将其识别为Δ(1,…,1)。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有群作用的光滑射影概形的反典范类能否通过多面体进行组合刻画？
• RQ2 Ehrhart-Macdonald对偶性定律如何用于定义代表反典范类的虚拟多面体？
• RQ3 在给定的凸多面体族中，反典范虚拟多面体是否唯一？
• RQ4 经典环道结果能否通过Gelfand-Zetlin与Newton-Okounkov多面体推广至旗流形与群紧化？

主要发现

• 若存在，线性凸多面体族的反典范虚拟多面体是唯一确定的。
• 对于具有光滑Weyl-不变扇形的群紧化，反典范类对应于线丛L(1,…,1)的陈类。
• 虚拟多面体Δ(1,…,1)满足对所有ℤˢ中的(s)元组(a₁,…,aₛ)，有N(Δ(a₁−1,…,aₛ−1)) = N(Δ°(a₁,…,aₛ))，其中对应适当表示。
• 映射π ↦ Δ(π)是可加的，因此Δ(π₁⊗π₂) = Δ(π₁) + Δ(π₂)，并可线性延拓至虚拟多面体。
• 全局截面H⁰(XΣ, ℒπ)的维数等于Δ(π)中格点数，确认了Ehrhart对应关系。