[论文解读] On a Poisson structure on Bott-Samelson varieties: computations in coordinates

Balázs Elek, Jiang-Hua Lu|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文显式计算了复半单李群 $G$ 的 Bott-Samelson 代数簇 $Z_{\bf u}$ 上的 Poisson 结构 $π_n$，在所有 $2^n$ 个仿射坐标图中，以根系字符串和李代数结构常数表示该结构。关键结果是：在 $\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$ 上诱导的 Poisson 结构是关于 $\mathbb{Z}$ 的 Poisson-Ore 扩张，在任意域 $\bf k$ 上均成立，并给出了 Bott-Samelson 坐标下扩展 Bruhat 单元上标准 Poisson 结构的显式公式。

ABSTRACT

For a connected complex semi-simple Lie group $G$, we consider the Poisson structure $\pi_n$ on an $n$-dimensional Bott-Samelson variety $Z_{\bf u}$ of $G$ defined by a standard multiplicative Poisson structure $\pi_{ m st}$ on $G$, where ${\bf u}$ is any sequence of length $n$ of simple reflections in the Weyl group of $G$. We explicitly express $\pi_n$ on each of the $2^n$ affine coordinate charts, one for every subexpression of ${\bf u}$, in terms of the root strings and the structure constants of the Lie algebra of $G$. We show that the restriction of $\pi_n$ to each affine coordinate chart gives rise to a Poisson structure on the polynomial algebra ${\mathbb{C}}[z_1, \ldots, z_n]$ which is a Poisson-Ore extension of $\mathbb{C}$ compatible with a rational action by a maximal torus of $G$. For canonically chosen $\pi_{ m st}$, we show that the induced Poisson structure on ${\mathbb{C}}[z_1, \ldots, z_n]$ for every affine coordinate chart is in fact defined over $\mathbb{Z}$, thus giving rise to a Poisson-Ore extension of any field ${\bf k}$ of arbitrary characteristic. The special case of $\pi_n$ on the affine chart corresponding to the full subexpression of ${\bf u}$ yields an explicit formula for the standard Poisson structures on extended Bruhat cells in Bott-Samelson coordinates.

研究动机与目标

• 显式描述 Bott-Samelson 代数簇 $Z_{\bf u}$ 上的 Poisson 结构 $\pi_n$，使用由 ${\bf u}$ 的子表达式索引的坐标图。
• 在每个仿射坐标图中，用根系字符串和李代数 $G$ 的结构常数表达 $\pi_n$。
• 证明在 $\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$ 上诱导的 Poisson 结构是与极大环面作用相容的 Poisson-Ore 扩张。
• 证明对于一个规范选择的 $\pi_{\text{mst}}$，Poisson 结构在 $\mathbb{Z}$ 上定义，因此可推广至任意域 $\bf k$。
• 通过完整子表达式图推导出在 Bott-Samelson 坐标下，扩展 Bruhat 单元上标准 Poisson 结构的显式公式。

提出的方法

• 使用 ${\bf u}$ 的子表达式参数化 $Z_{\bf u}$ 的 $2^n$ 个仿射坐标图。
• 在每个图上，将 Poisson 二阶张量 $\pi_n$ 表示为李代数 $\mathfrak{g}$ 的根系字符串和结构常数的双线性形式。
• 证明在 $\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$ 上得到的 Poisson 结构是与 $G$ 的极大环面的有理作用相容的 Poisson-Ore 扩张。
• 证明对于规范选择的标准乘法 Poisson 结构 $\pi_{\text{mst}}$，坐标表达式中的结构常数为整数，从而表明 Poisson 结构在 $\mathbb{Z}$ 上定义。
• 利用完整子表达式图，推导出在 Bott-Samelson 坐标下，扩展 Bruhat 单元上标准 Poisson 结构的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在所有 $2^n$ 个仿射坐标图中显式计算 Bott-Samelson 代数簇 $Z_{\bf u}$ 上的 Poisson 结构 $\pi_n$？
• RQ2 在每个图上，$\pi_n$ 的代数形式如何用 $\mathfrak{g}$ 的根系字符串和结构常数表示？
• RQ3 在 $\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$ 上诱导的 Poisson 结构是否允许有理的极大环面作用？是否为 Poisson-Ore 扩张？
• RQ4 Poisson 结构 $\pi_n$ 是否可在 $\mathbb{Z}$ 上定义，从而推广至任意特征的域 $\bf k$？
• RQ5 在 Bott-Samelson 坐标下，扩展 Bruhat 单元上标准 Poisson 结构的显式表达式是什么？

主要发现

• 在 $Z_{\bf u}$ 的全部 $2^n$ 个仿射坐标图上，均显式计算了 Poisson 结构 $\pi_n$，其表达式基于根系字符串和李代数结构常数。
• 在每个图上，$\pi_n$ 的限制给出了与 $G$ 的极大环面的有理作用相容的 $\mathbb{C}$ 上的 Poisson-Ore 扩张。
• 对于规范选择的 $\pi_{\text{mst}}$，在 $\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$ 上的 Poisson 结构在 $\mathbb{Z}$ 上定义，因此可推广至任意域 $\bf k$。
• 完整子表达式图的特例给出了在 Bott-Samelson 坐标下，扩展 Bruhat 单元上标准 Poisson 结构的显式公式。
• 整个构造依赖于坐标，但完全显式，所有结构常数均来自 $G$ 的李代数。