[论文解读] On a problem in simultaneous Diophantine approximation: Schmidt's conjecture

Dzmitry Badziahin, Andrew Pollington+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文通过证明当 $(i,j)$ 满足 $i+j=1$ 时，任意有限个集合 $\mathbf{Bad}(i,j)$ 的交集具有全维 Hausdorff 维数 2，从而解决了 Schmidt 的猜想。证明依赖于沿竖直线分析交集，并证明对任意糟糕逼近的 $x$，这些集合的对应 $y$-截面具有全维 1，从而确认了此类交集的非空性与全维性。

ABSTRACT

For any $i,j \ge 0$ with $i+j =1$, let $\bad(i,j)$ denote the set of points $(x,y) \in \R^2$ for which $ \max \{\|qx\|^{1/i}, \|qy\|^{1/j} \} > c/q $ for all $ q \in \N $. Here $c = c(x,y)$ is a positive constant. Our main result implies that any finite intersection of such sets has full dimension. This settles a conjecture of Wolfgang M. Schmidt in the theory of simultaneous Diophantine approximation.

研究动机与目标

• 解决 1980 年代 Wolfgang M. Schmidt 提出的关于 $\mathbb{R}^2$ 中 $(i,j)$-糟糕逼近集合交集非空性的猜想。
• 证明此类集合的任意有限交集具有全 Hausdorff 维数 2，扩展了关于单个集合全维性的已有结果。
• 沿竖直线 $L_\theta$ 分析这些集合的结构，并证明当 $\theta \in \mathbf{Bad}(i)$ 时，其与 $\mathbf{Bad}(i_t,j_t)$ 的交集维数为 1。
• 证明 $\mathbf{Bad}(1,0) \cap \mathbf{Bad}(0,1) \cap \mathbf{Bad}(i,j)$ 具有全维 2，确认了一个关键特例。
• 阐明 $(i,j)$-糟糕逼近条件的同步形式与对偶形式之间的等价性。

提出的方法

• 将 $\mathbf{Bad}(i,j)$ 定义为 $\mathbb{R}^2$ 中所有点 $(x,y)$ 的集合，使得对所有 $q \in \mathbb{N}$ 及某个 $c(x,y) > 0$，有 $\max\{\|qx\|^{1/i}, \|qy\|^{1/j}\} > c(x,y)/q$。
• 沿竖直线 $L_\theta = \{\theta\} \times \mathbb{R}$ 研究交集，将二维问题简化为对 $\mathbf{Bad}(i)$ 集合的一维分析。
• 使用 Borel-Cantelli 引理证明当 $i < 1$ 时，$\mathbf{Bad}(i)$ 的补集具有 Lebesgue 测度零，从而蕴含全测度与全维数。
• 建立定理 2：当 $\theta \in \mathbf{Bad}(i)$ 且 $i = \sup\{i_t\}$，以及 $\liminf_{t \to \infty} \min\{i_t, j_t\} > 0$ 时，交集 $\bigcap_t \mathbf{Bad}(i_t,j_t) \cap L_\theta$ 的维数为 1。
• 利用广义的 Dirichlet 逼近定理和一个关于线性型的关键引理，证明 $\mathbf{Bad}(i,j)$ 的同步形式与对偶形式等价。
• 应用数的几何的一个变体，特别是涉及线性型的传递原理，将对偶情形与同步情形的解联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意两个满足 $i_1 + j_1 = i_2 + j_2 = 1$ 的集合 $\mathbf{Bad}(i_1,j_1)$ 与 $\mathbf{Bad}(i_2,j_2)$ 的交集是否具有正 Hausdorff 维数？
• RQ2 能否如 Schmidt 所猜想的那样，对所有此类配对建立 $\mathbf{Bad}(i_1,j_1) \cap \mathbf{Bad}(i_2,j_2)$ 的非空性？
• RQ3 对任意有限 $d$ 及满足 $i_t + j_t = 1$ 的配对 $(i_t,j_t)$，交集 $\bigcap_{t=1}^d \mathbf{Bad}(i_t,j_t)$ 的 Hausdorff 维数是多少？
• RQ4 $\mathbf{Bad}(i,j)$ 在丢番图逼近的对偶形式与同步形式中是否等价？
• RQ5 在无限交集情形下，条件 $\liminf \min\{i_t,j_t\} > 0$ 是否为必要条件，或可被移除？

主要发现

• 任意有限个满足 $i_t + j_t = 1$ 的集合 $\mathbf{Bad}(i_t,j_t)$ 的交集具有全 Hausdorff 维数 2，从而确认了 Schmidt 的猜想。
• 对任意 $\theta \in \mathbf{Bad}(i)$ 且 $i = \sup\{i_t\}$，交集 $\bigcap_t \mathbf{Bad}(i_t,j_t) \cap L_\theta$ 具有 Hausdorff 维数 1，这在直线上是全维。
• $\mathbf{Bad}(i)$ 对所有 $i \in [0,1]$ 具有全维数 1，且当 $i < 1$ 时具有全 Lebesgue 测度。
• $(i,j)$-糟糕逼近的同步形式与对偶形式等价，即一个点在一个意义上是糟糕逼近的，当且仅当在另一个意义上也是。
• 该结果意味着 Littlewood 猜想仍为开放问题，因为对 Schmidt 猜想的反例将蕴含对 Littlewood 猜想的反例。
• 证明方法依赖于竖直线截面与维数估计，为研究高维丢番图逼近中的交集提供了稳健的框架。