[论文解读] On a set-covering property of multivalued mappings

Amos Uderzo|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一类多值映射的强型线性率下开性性质，建立了其等价刻画，并在度量空间中证明了其在Lipschitz扰动下的稳定性。本文识别出一类在巴拿赫空间之间满足此覆盖性质的闭凸过程，并将结果应用于带集合包含约束的优化问题中的集值包含问题与精确罚函数法。

ABSTRACT

In this paper, a strong variant for multivalued mappings of the well-known property of openness at a linear rate is studied. Among other examples, a simply characterized class of closed convex processes between Banach spaces, which satisfies such a covering behaviour, is singled out. Equivalent reformulations of this property and its stability under Lipschitz perturbations are investigated in a metric space setting. Applications to the solvability of set-valued inclusions and to the exact penalization of optimization problems with set-inclusion constraints are discussed.

研究动机与目标

• 研究多值映射的更强变体的线性率下开性性质。
• 识别出在巴拿赫空间之间满足此覆盖行为的一类闭凸过程。
• 在度量空间中建立该性质的等价重述及其在Lipschitz扰动下的稳定性。
• 将理论结果应用于集值包含问题的可解性分析与带约束优化中的精确罚函数法。
• 为分析标准线性分析设定之外的覆盖行为，提供一个度量空间框架。

提出的方法

• 为多值映射引入一种强覆盖性质，扩展了经典的线性率下开性概念。
• 通过巴拿赫空间中的度量正则性与距离估计刻画该性质。
• 运用变分分析与度量空间理论工具，推导出等价形式。
• 通过不动点与压缩映射论证，分析该性质在Lipschitz连续扰动下的稳定性。
• 利用凸过程理论，识别出满足覆盖条件的一类闭凸映射。
• 通过精确罚函数技术，将结果应用于带集合包含约束的优化问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 多值映射的强覆盖性质的精确刻画是什么？它与标准的线性率下开性有何不同？
• RQ2 哪些闭凸过程类在巴拿赫空间之间满足此强覆盖行为？
• RQ3 在度量空间中，该覆盖性质如何在Lipschitz扰动下保持不变？
• RQ4 该性质对集值包含问题可解性有何影响？
• RQ5 该性质能否被用于实现带集合包含约束的优化问题中的精确罚函数法？

主要发现

• 识别出一类在巴拿赫空间之间满足强覆盖性质的闭凸过程，其特征由明确的度量条件刻画。
• 通过距离估计与度量正则性概念，推导出覆盖性质的等价重述。
• 证明了覆盖性质在Lipschitz扰动下保持稳定，扰动后的映射仍保持该性质。
• 该理论框架使通过覆盖行为分析集值包含问题的可解性成为可能。
• 通过利用覆盖性质，支持了带集合包含约束的优化问题中的精确罚函数法。
• 该框架将经典关于下开性与度量正则性的结果，推广到巴拿赫空间中更强且更具结构化的设定。