[论文解读] On a spectral representation for correlation measures in configuration space analysis

Yu. M. Berezansky, Yu. G. Kondratiev+2 more|ArXiv.org|Aug 14, 2006

Morphological variations and asymmetryMathematics参考文献 14被引用 21

一句话总结

本论文通过在有限配置上引入 $∞star$-卷积结构，建立了配置空间分析中相关性度量的谱表示，从而在希尔伯特空间 ${\cal H}_\rho$ 中构造出一族可交换的自伴算子，使其可通过投影谱定理实现傅里叶变换。关键结果是该变换将 ${\cal H}_\rho$ 单位酉映射到 $L^2(\Gamma_X, \mu)$，其中 $\mu$ 为谱度量，$\rho$ 为其相关度量，从而在增长条件下解决了从相关度量重构概率度量的逆问题。

ABSTRACT

The paper is devoted to the study of configuration space analysis by using the projective spectral theorem. For a manifold $X$, let $Γ_X$, resp.\ $Γ_{X,0}$ denote the space of all, resp. finite configurations in $X$. The so-called $K$-transform, introduced by A. Lenard, maps functions on $Γ_{X,0}$ into functions on $Γ_{X}$ and its adjoint $K^*$ maps probability measures on $Γ_X$ into $σ$-finite measures on $Γ_{X,0}$. For a probability measure $μ$ on $Γ_X$, $ρ_μ:=K^*μ$ is called the correlation measure of $μ$. We consider the inverse problem of existence of a probability measure $μ$ whose correlation measure $ρ_μ$ is equal to a given measure $ρ$. We introduce an operation of $\star$-convolution of two functions on $Γ_{X,0}$ and suppose that the measure $ρ$ is $\star$-positive definite, which enables us to introduce the Hilbert space ${\cal H}_ρ$ of functions on $Γ_{X,0}$ with the scalar product $(G^{(1)},G^{(2)})_{{\cal H}_ρ}= \int_{Γ_{X,0}}(G^{(1)}\star\bar G{}^{(2)})(η) ρ(dη)$. Under a condition on the growth of the measure $ρ$ on the $n$-point configuration spaces, we construct the Fourier transform in generalized joint eigenvectors of some special family $A=(A_ϕ)_{ϕ\in\D}$, $\D:=C_0^\infty(X)$, of commuting selfadjoint operators in ${\cal H}_ρ$. We show that this Fourier transform is a unitary between ${\cal H}_ρ$ and the $L^2$-space $L^2(Γ_X,dμ)$, where $μ$ is the spectral measure of $A$. Moreover, this unitary coincides with the $K$-transform, while the measure $ρ$ is the correlation measure of $μ$.

研究动机与目标

• 在配置空间 $\Gamma_X$ 上从给定的 $\sigma$-有限度量 $\rho$ 在 $\Gamma_{X,0}$ 上重构概率度量 $\mu$ 的逆问题。
• 利用 $K$-变换及其伴随 $K^*$ 建立相关度量的谱理论框架。
• 在 $\rho$ 满足增长条件时，证明 $\Gamma_{X,0}$ 上的 $\star$-卷积结构允许将傅里叶变换单位酉映射到 $L^2(\Gamma_X, \mu)$。
• 证明 $K$-变换与 ${\cal H}_\rho$ 中一族可交换自伴算子的广义共同本征向量中的傅里叶变换一致，从而将 $\mu$ 识别为谱度量。

提出的方法

• 在 $\Gamma_{X,0}$ 上的函数上引入 $\star$-卷积运算，通过 $K$-变换及其伴随定义。
• 通过 $\rho$ 的 $\star$-正定性，定义希尔伯特空间 ${\cal H}_\rho$，其内积为 $(G^{(1)}, G^{(2)})_{{\cal H}_\rho} = \int_{\Gamma_{X,0}} (G^{(1)} \star \overline{G}^{(2)})(\eta) \, \rho(d\eta)$。
• 通过 $A_\varphi G(\eta) = (\varphi \star G)(\eta)$，其中 $\varphi \in C_0^\infty(X)$，在 ${\cal H}_\rho$ 上构造一族算子 $(A_\varphi)_{\varphi \in {\cal D}}$。
• 证明算子 $A_\varphi$ 本质上是自伴的，且其闭包构成一族可交换的自伴算子。
• 对可交换族 $(A_\varphi^\sim)$ 应用投影谱定理，得到从 ${\cal H}_\rho$ 到 $L^2({\cal D}^\prime, \mu)$ 的单位酉傅里叶变换。
• 证明该傅里叶变换与 $K$-变换一致，且 $\mu$ 为谱度量，$\rho$ 为其相关度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\Gamma_{X,0}$ 上的 $\sigma$-有限度量 $\rho$ 满足何种条件时，存在 $\Gamma_X$ 上的概率度量 $\mu$，使得 $\rho = K^*\mu$？
• RQ2 能否将 $K$-变换解释为在由 $\rho$ 构造的希尔伯特空间中一族可交换算子的广义共同本征向量中的傅里叶变换？
• RQ3 $\Gamma_{X,0}$ 上的 $\star$-卷积结构是否允许通过投影谱定理对 $\rho$ 实现谱表示？
• RQ4 在 $\rho$ 满足增长条件时，$\Gamma_X$ 上的度量 $\mu$ 是否在全配置空间 $\Gamma_X$ 上有紧支集？
• RQ5 能否将 $K$-变换实现为 ${\cal H}_\rho$ 与 $L^2(\Gamma_X, \mu)$ 之间的酉算子，其中 $\mu$ 为算子族的谱度量？

主要发现

• 在一族可交换自伴算子 $(A_\varphi^\sim)$ 的广义共同本征向量中，$K$-变换与傅里叶变换单位酉等价，从而确立了 $K$-变换的谱表示。
• 希尔伯特空间 ${\cal H}_\rho$ 由 $\star$-卷积与 $\rho$-正定性构造，确保内积定义良好。
• 算子族 $(A_\varphi^\sim)$ 的谱度量 $\mu$ 满足 $\mu(\Gamma_X) = 1$，即 $\mu$ 支持于全配置空间。
• 度量 $\rho$ 是 $\mu$ 的相关度量，即 $\rho = K^*\mu$，确认逆问题已解决。
• 在增长条件 $\rho(\Gamma_\Lambda^{(n)}) \leq (2 + \varepsilon)^n$ 下，度量 $\widetilde{\mu}_\Lambda$ 是 $\Gamma_\Lambda$ 上的概率度量，且 $\mu$ 在紧子集上一致。
• 度量 $\mu_\Lambda$ 的傅里叶变换可解析延拓至零的邻域，且 $\mu_\Lambda$ 的特征函数通过 $K$-变换与 $\rho$ 的生成函数一致。