[论文解读] On a strange invariant bilinear form on the space of automorphic forms

Vladimir Drinfeld, Jonathan Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文引入并研究了在 $G = SL(2)$ 上的 $F$-有理全局域 $F$ 上的 $K$-有限光滑紧支集自守形式空间上的一种新颖的不变双线性形式 $\mathcal{B}$。该形式定义为标准 $L^2$-内积与一个涉及常数项和标准互变算子的修正项之差。该形式自然地出现在几何朗兰兹纲领中，并与施希德的皮卡德-莱夫谢茨振荡器相关联，为经典自守理论与几何自守理论之间架起桥梁。

ABSTRACT

Let F be a global field and A its ring of adeles. Let G:=SL(2). We study the bilinear form B on the space of K-finite smooth compactly supported functions on G(A )/G(F) defined by the formula B (f,g):=B'(f,g)-(M^{-1}CT (f),CT (g)), where B' is the usual scalar product, CT is the constant term operator, and M is the standard intertwiner. This form is natural from the viewpoint of the geometric Langlands program. To justify this claim, we provide a dictionary between the classical and "geometric" theory of automorphic forms. We also show that the form B is related to S. Schieder's Picard-Lefschetz oscillators.

研究动机与目标

• 在全局域 $F$ 上对 $SL(2)$ 的 $K$-有限光滑紧支集自守形式空间上定义并研究一个新的不变双线性形式 $\mathcal{B}$。
• 建立该形式与几何朗兰兹纲领之间的联系，特别是通过函数-层字典和奇迹对偶性。
• 在 $l$-进层与 $D$-模的语境下，将双线性形式 $\mathcal{B}$ 与 S. 施希德的皮卡德-莱夫谢茨振荡器联系起来。
• 提供一个字典，将经典自守形式翻译为几何设定，从几何朗兰兹的角度证明 $\mathcal{B}$ 的自然性。

提出的方法

• 定义 $\mathcal{B}(f_1, f_2) = \mathcal{B}_{\text{naive}}(f_1, f_2) - \langle M^{-1} \operatorname{CT}(f_1), \operatorname{CT}(f_2) \rangle$，其中 $\mathcal{B}_{\text{naive}}$ 为标准 $L^2$-内积，$\operatorname{CT}$ 为常数项算子，$M$ 为标准互变算子。
• 证明 $\mathcal{B}(f_1, f_2) = \mathcal{B}_{\text{naive}}(Lf_1, f_2)$，其中 $L$ 为 $\mathcal{A}_c$ 上的线性算子，其在尖形式上恒等作用，并在 Eisenstein 系列上作用简单。
• 建立 $\mathcal{B}$ 在 $G(\mathbb{A})$ 作用下的不变性，其中在数域情形需适当修改。
• 利用函数-层字典，将 $\mathcal{B}$ 与几何设定中的复形 $\Delta_!\omega_{\operatorname{Bun}_G}$ 关联，特别是在奇迹对偶性的语境下。
• 将 $\mathcal{B}$ 与施希德对 Frobenius 算子在 $\Delta_*\overline{\mathbb{Q}}_l$ 上的迹的公式联系起来，表明 $b(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) = b_{\text{naive}}(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) - \sum_f r(D_f)$。
• 猜想在 perverse 层范畴上，$(\operatorname{Ps-Id})_{\operatorname{Bun}_G,!}$ 的逆同构于增强 Eisenstein-常数项伴随的余单位的移位锥，即 $((\operatorname{Ps-Id})_{\operatorname{Bun}_G,!})^{-1} \cong \operatorname{Cone}(\epsilon)[2d]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个自然的、在自守形式上不变的双线性形式，使其通过常数项与互变算子来修正朴素的 $L^2$-内积？
• RQ2 该双线性形式的几何朗兰兹解释是什么？它如何与 $D$-模和奇迹对偶性相关联？
• RQ3 在 $\operatorname{Bun}_G \times \operatorname{Bun}_G$ 上的 $l$-进层语境下，该双线性形式如何与 S. 施希德的皮卡德-莱夫谢茨振荡器相联系？
• RQ4 能否将实现 $\mathcal{B}$ 的算子 $L$ 理解为 $D$-模设定中 Ps-Id 函子的逆的几何类比？
• RQ5 是否存在一个精确的范畴等价，使得形式 $\mathcal{B}$ 可以在几何朗兰兹框架下被实现为导出函子？

主要发现

• 双线性形式 $\mathcal{B}$ 在 $G(\mathbb{A})$ 作用下不变，数域情形下有适当修改的不变性条件，且在标量倍数意义下与哈尔测度的选择无关。
• 该形式被实现为 $\mathcal{B}(f_1, f_2) = \mathcal{B}_{\text{naive}}(Lf_1, f_2)$，其中 $L$ 在尖形式上恒等作用，并在 Eisenstein 系列上作用简单。
• $\mathcal{B}$ 中的修正项对应于 $\Delta_*$-复形上 Frobenius 算子的迹，施希德将其计算为 $b(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) = b_{\text{naive}}(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) - \sum_f r(D_f)$。
• $\mathcal{B}$ 深刻地与几何朗兰兹纲领相关联，特别是通过函数-层字典和 $\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$ 的奇迹对偶性理论。
• 本文猜想，在 perverse 层范畴上，$(\operatorname{Ps-Id})_{\operatorname{Bun}_G,!}$ 的逆同构于增强 Eisenstein-常数项伴随的余单位的移位锥，即 $((\operatorname{Ps-Id})_{\operatorname{Bun}_G,!})^{-1} \cong \operatorname{Cone}(\epsilon)[2d]$。
• 该形式 $\mathcal{B}$ 的构造为几何朗兰兹纲领中的范畴-几何结构（特别是增强 Eisenstein 与常数项函子）提供了经典类比。