[论文解读] On a vanishing conjecture appearing in the geometric Langlands correspondence

Dennis Gaitsgory|ArXiv.org|Apr 7, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用 9

一句话总结

本文證明了幾何朗蘭茲對應於 GL_n 的一個關鍵消失猜想，確立了當作用於低秩向量叢時，某些類似 Hecke 的函子會消失。作者利用基於 Whittaker 函子與正合性論證的新穎商類別構造，證明了當 d 足夠大時，函子 Av_E^d 恆為零，從而完成特徵為 0 時、且係數為 F_ℓ（當 ℓ > d 時）的幾何朗蘭茲對應。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complete curve, and let $Bun_n$ be the moduli stack of rank $n$ vector bundles on $X$. Let $E$ be a local system on $X$. In a recent paper of E.Frenkel, K.Vilonen and the author, it was shown that the vanishing of a certian functor $Av_E^d$ acting from the category $D(Bun_n)$ to itself, implies the geometric Langlands conjecture. In this paper we establish the required vanishing result. Our proof works for sheaves with char=0 coefficients, or with torsion coefficients when the parameter $d$ is less than the characteristic.

研究动机与目标

• 證明幾何朗蘭茲對應於 GL_n 所必需的消失猜想。
• 建立一個商類別 D̃(Bun_n)，以捕捉非退化（尖點）層，並保持 t-結構。
• 利用正合性與歸納法，證明當 d 足夠大時，函子 Av_E^d 恆為零。
• 提供一個獨立於 Lafforgue 定理的統一證明，適用於特徵為 0 時，以及當 ℓ > d 時的 F_ℓ-係數。
• 透過函子消失與 Euler 比較，推廣幾何朗蘭茲中的逆定理方法。

提出的方法

• 透過比較相同秩局部系統之間的 Euler-Poincaré 指標，將 Av_E^d 的消失性歸結為證明其正合性。
• 利用對稱群 Σ_d 的作用，將 Av_E^d 表示為基本函子 Av_E^1 的形式。
• 透過 Whittaker 函子定義，透過消去退化層的方式構造一個商三角類別 D̃(Bun_n)。
• 證明商類別繼承了 perverse t-結構，且 Hecke 函子在其上下降並保持正合性。
• 利用 E 的不可約性與 Whittaker 函子的結構，證明 Av_E^1 在 D̃(Bun_n) 上是正合的。
• 透過對 n 的歸納與對尖點層的正交性，推導出 Av_E^d 在 D(Bun_n) 上正合，因而消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 當 d 足夠大時，Av_E^d 作用於 D(Bun_n) 是否消失，這是否為幾何朗蘭茲對應所要求的？
• RQ2 Av_E^d 的消失性能否歸結為證明其在 perverse sheaves 類別上的正合性？
• RQ3 Whittaker 函子在定義一個隔離尖點層的商類別中扮演何種角色？
• RQ4 對稱群作用於 Hecke 函子如何使 Av_E^d 的歸納可簡化為 Av_E^1？
• RQ5 能否透過在特徵為 0 時或當 ℓ > d 時使用 F_ℓ-係數，使證明獨立於 Lafforgue 定理？

主要发现

• 已證明消失猜想：當 d 足夠大時，函子 Av_E^d 在 D(Bun_n) 上恆為零。
• 證明將消失性歸結為 Av_E^d 的正合性，透過 Euler 指標比較與歸納法建立。
• 構造了商類別 D̃(Bun_n)，以隔離尖點層並保持 perverse t-結構。
• Hecke 函子下降至 D̃(Bun_n) 且保持正合性，使 Whittaker 函子得以在論證中使用。
• 證明 Av_E^1 在 D̃(Bun_n) 上是正合的，這意味著 Av_E^d 在退化層模組下亦正合。
• 透過對尖點層的正交性與歸納法，證明 Av_E^d 在 D(Bun_n) 上正合，因而消失。