[论文解读] On adaptive low-depth quantum algorithms for robust multiple-phase estimation

Haoya Li, Hongkang Ni+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于具有多个本征值的量子相位估计算法的鲁棒多相位估计算法（RMPE），通过自适应信号处理与运行时放大技术，实现海森堡极限量级的缩放。该算法在整数幂和实数幂模型下均适用，所需辅助量子比特极少，能容忍初始态中较高的残留，且在已知能隙时，实现最优运行时间缩放，预因子与残留能量成正比。

ABSTRACT

This paper is an algorithmic study of quantum phase estimation with multiple eigenvalues. We present robust multiple-phase estimation (RMPE) algorithms with Heisenberg-limited scaling. The proposed algorithms improve significantly from the idea of single-phase estimation methods by combining carefully designed signal processing routines and an adaptive determination of runtime amplifying factors. They address both the {\em integer-power} model, where the unitary $U$ is given as a black box with only integer runtime accessible, and the {\em real-power} model, where $U$ is defined through a Hamiltonian $H$ by $U = \exp(-2π\mathrm{i} H)$ with any real runtime allowed. These algorithms are particularly suitable for early fault-tolerant quantum computers in the following senses: (1) a minimal number of ancilla qubits are used, (2) an imperfect initial state with a significant residual is allowed, (3) the prefactor in the maximum runtime can be arbitrarily small given that the residual is sufficiently small and a gap among the dominant eigenvalues is known in advance. Even if the eigenvalue gap does not exist, the proposed RMPE algorithms can achieve the Heisenberg limit while maintaining (1) and (2).

研究动机与目标

• 解决在本征值能隙较小或不存在时，量子相位估计算法中估计多个本征值的挑战。
• 设计低深度量子算法，在最小化辅助量子比特使用的同时，保持高精度与对初始态缺陷的鲁棒性。
• 在总运行时间缩放达到海森堡极限的同时，使最大运行时间的预因子可任意小，前提是残留能量较小。
• 通过克服混叠与谱泄漏问题，将单相位估计算法技术扩展至多相位情形。
• 通过对抗退相干时间限制与初始态不完美性，支持早期容错量子计算机。

提出的方法

• 使用自适应运行时间放大因子，迭代优化相位估计，避免多本征模系统中的混叠效应。
• 采用混合信号处理方法：在有能隙情况下使用ESPRIT，在无能隙情况下使用改进的线谱估计方法。
• 应用两阶段信号处理子程序，通过调节 $ au$、$ ho$、$eta$、$eta-eta$ 以及 $K_1$、$K_2$ 参数，控制误差与分辨率。
• 基于估计的误差水平 $M_ ext{ℓ}$，引入运行时间依赖的子程序切换机制。
• 利用实数幂模型 $U = e^{-2 au i H}$ 实现连续的运行时间控制，相比整数幂模型可实现更精细的分辨率。
• 提出一种新的频率分离界限，确保即使在无谱能隙时，信号处理的准确性也能得到保障。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在最小化辅助量子比特使用的同时，实现总运行时间达到海森堡极限量级的多相位估计？
• RQ2 在自适应量子相位估计算法中，如何缓解多本征模引起的混叠效应？
• RQ3 能否使最大运行时间独立于谱能隙，同时保持最优缩放？
• RQ4 在本征值能隙任意小时，何种信号处理技术可实现鲁棒估计？
• RQ5 残留态能量如何影响低深度量子算法中运行时间预因子？

主要发现

• 所提出的RMPE算法在有能隙情况下，实现海森堡极限量级的总运行时间缩放 $T_{\text{total}} = \tilde{O}_S(\omega^{-2}\Delta^{-1} + \omega^{-1}\epsilon^{-1})$。
• 最大运行时间缩放为 $T_{\text{max}} = O_S(\max\{\omega^{-1}\Delta^{-1}, \omega\epsilon^{-1}\})$，当残留较小时，预因子与 $ω$ 成正比。
• 算法可容忍初始态残留满足 $|c_{\text{res}}|^2 \leq \omega < \beta$，其中 $β$ 为最小本征态重叠，且在 $ω \approx \u03b2$ 时仍保持精度。
• 在无能隙情况下，算法仍实现海森堡缩放，同时保持低辅助量子比特数量与残留容忍能力。
• 混合信号处理策略确保以 $1 - \rho$ 的高概率，将所有本征值估计在真实值的 $ε$-球内。
• 该方法可在 $ω$ 足够小时，使 $T_{\text{max}}$ 的预因子任意小，前提是已知谱能隙。