[论文解读] On analytic analogues of quantum groups

Craig Smith|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过解析尼尔斯基代数和马吉德的双玻色化构造，引入了非阿基米德和阿基米德域上解析量子群的新构造，建立了表示的辫子张量范畴。通过有界上同调证明了刚性结果，为 p-进 Drinfel'd-Kohno 定理奠定了基础，并提示了涉及 p-进特殊函数的新 braid 群表示。

ABSTRACT

In this paper we present a new construction of analytic analogues of quantum groups over non-Archimedean fields and construct braided monoidal categories of their representations. We do this by constructing analytic Nichols algebras and use Majid's double-bosonisation construction to glue them together. We then go on to study the rigidity of these analytic quantum groups as algebra deformations of completed enveloping algebras through bounded cohomology. This provides the first steps towards a $p$-adic Drinfel'd-Kohno Theorem, which should relate this work to Furusho's $p$-adic Drinfel'd associators. Finally, we adapt these constructions to working over Archimedean fields.

研究动机与目标

• 为任意 Kac-Moody 李代数在非阿基米德域上系统构造解析量子群的解析类比，克服先前构造的局限性。
• 为这些解析量子群建立辫子张量范畴的表示，从而实现新的 braid 群表示。
• 利用有界上同调研究这些量子群作为完备包络代数的代数形变的刚性。
• 通过将这些结构与 Furusho 的 p-进 Drinfel'd 关联器联系起来，为 p-进 Drinfel'd-Kohno 定理奠定基础。
• 将构造推广至阿基米德域，并探索其与特殊解析函数（如 p-进多对 polylogarithm）的联系。

提出的方法

• 在非阿基米德域上，通过完成张量代数的商式构造解析尼尔斯基代数，模去通用霍普夫理想或对偶配对的根。
• 应用马吉德的双玻色化构造，将正负部分的解析尼尔斯基代数粘合为完整的解析量子群。
• 通过 Drinfel'd 双重的另一种描述，获得与 BGG 类似范畴 O 同构的表示的辫子张量范畴。
• 利用有界上同调证明刚性定理，表明在上同调消失假设下，完备包络代数的任何代数形变都是平凡的且在共轭意义下唯一。
• 通过在 R 或 C 上的 IndBanach 范畴中定义解析尼尔斯基代数和量子群，将构造适配至阿基米德域。
• 利用对偶配对和余作用定义交叉模范畴，并建立到解析量子群模范畴的全忠实函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过解析尼尔斯基代数在任意 Kac-Moody 李代数的非阿基米德域上系统地构造解析量子群？
• RQ2 这些解析量子群是否具有推广 BGG 范畴 O 的辫子张量范畴的表示？
• RQ3 这些解析量子群作为完备包络代数的代数形变是否具有刚性？何种上同调条件可保证此刚性？
• RQ4 该构造能否推广至阿基米德域？会涌现出何种新的表示论结构？
• RQ5 这些解析量子群与 p-进 Drinfel'd 关联器之间是否存在联系，可能导向 p-进 Drinfel'd-Kohno 定理？

主要发现

• 解析尼尔斯基代数以两种等价方式构造：模去通用霍普夫理想，或模去对偶配对的根，确保双玻色化构造的相容性。
• 双玻色化构造产生称为解析量子群的 IndBanach 霍普夫代数，即量子包络代数正负部分的完备化。
• 尽管标准 R-矩阵在解析量子群中不收敛，但通过 Drinfel'd 双重的另一种商式描述，仍可构造出表示的辫子张量范畴。
• 利用有界上同调证明了刚性定理：在上同调消失假设下，任何完备包络代数的代数形变都是平凡的且在共轭意义下唯一。
• 该构造可推广至阿基米德域，产生解析量子群和辫子模范畴，且通过余作用与对偶结构，范畴 OΨ 被证明是辫子的。
• 该框架提示了新的 braid 群表示，并可能在模的辫子结构中出现 p-进多对 polylogarithm 和量子 dilogarithm。