[论文解读] On Antipodes Of Hom-Hopf algebras

Mohammad Hassanzadeh|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文研究在弱化定义下，Hom-Hopf 代数中的对极元，其中对极元是恒等映射在卷积下的相对 Hom-逆，而非严格逆。本文证明了对极元是相对 Hom-反代数与反余代数同态，并且若扭曲映射可逆，则其成为真正的反代数与反余代数映射。关键结果是：对于具有可逆扭曲映射的交换或余交换 Hom-Hopf 代数，有 $ S^2 = \mathrm{id} $，推广了经典 Hopf 代数的性质。

ABSTRACT

In the recent definition of Hom-Hopf algebras the antipode S is the relative Hominverse of the identity map with respect to the convolution product. We observe that some fundamental properties of the antipode of Hopf algebras and Hom-Hopf algebras, with the original definition, do not hold generally in the new setting. We show that the antipode is a relative Hom-anti algebra and a relative anti-coalgebra morphism. It is also relative Hom-unital, and relative Hom-counital. Furthermore if the twisting maps of multiplications and comultiplications are invertible then S is an anti-algebra and an anti-coalgebra map. We show that any Hom-bialgebra map between two Hom-Hopf algebras is a relative Hom-morphism of Hom-Hopf alegbras. Specially if the corresponding twisting maps are all invertible then it is a Hom-Hopf algebra map. If the Hom-Hopf algebra is commutative or cocommutative we observe that S^2 is equal to the identity map in some sense. At the end we study the images of primitive and group-like elements under the antipode.

研究动机与目标

• 研究在相对 Hom-可逆性下，经典 Hopf 代数中对极元的基本性质是否在广义的 Hom-Hopf 代数设定中仍然保持。
• 在仅假设相对 Hom-逆条件、而不假设单位性、余单位性或反同态性质的前提下，确定对极元的哪些性质可以被恢复。
• 研究在新定义下，交换与余交换 Hom-Hopf 代数中 $ S^2 $ 的行为。
• 在该广义框架下，分析对极元在原始元与群-型元素上的作用。

提出的方法

• 通过一个 Hom-双代数配备一个映射 $ S $ 来定义 Hom-Hopf 代数，使得 $ S $ 是恒等映射在卷积下的相对 Hom-逆，即存在 $ k \in \mathbb{N} $，满足 $ \alpha^k(S \star \mathrm{id}) = \alpha^k(\mathrm{id} \star S) = \eta \circ \varepsilon $。
• 利用卷积恒等式与 Hom-结合律/余结合律公理，证明 $ S $ 是相对 Hom-反代数与相对 Hom-反余代数同态。
• 通过相对逆条件与 Hom-双代数的结构，证明 $ S $ 是相对 Hom-单位化与相对 Hom-余单位化。
• 证明若扭曲映射 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 可逆，则 $ S $ 成为真正的反代数与反余代数映射，且满足 $ S \circ \alpha = \alpha \circ S $。
• 通过证明 $ S^2 $ 也是 $ S $ 的相对 Hom-逆，分析交换与余交换 Hom-Hopf 代数中 $ S^2 $ 的性质，从而推出 $ \alpha^{k+2} \circ S^2 \circ \beta^2 = \alpha^{k+2} \circ \mathrm{id} \circ \beta^2 $。
• 通过应用相对逆条件，并利用定义 $ \Delta(h) = 1 \otimes h + h \otimes 1 $ 与 $ \Delta(h) = h \otimes h $，研究 $ S $ 在原始元与群-型元素上的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在通过相对 Hom-可逆性定义的 Hom-Hopf 代数中，对极元是否保持反代数与反余代数同态的性质？
• RQ2 在何种条件下，对极元会成为严格的反代数与反余代数映射？
• RQ3 是否可以在 Hom-Hopf 代数中恢复经典结果 $ S^2 = \mathrm{id} $，若可以，需在何种假设下？
• RQ4 在相对 Hom-逆设定下，对极元如何作用于原始元与群-型元素？
• RQ5 对极元与扭曲映射 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 之间存在何种关系，特别是当它们可逆时？

主要发现

• 即使不假设严格的反同态性质，对极元 $ S $ 仍是相对 Hom-反代数与相对 Hom-反余代数同态。
• 若扭曲映射 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 可逆，则 $ S $ 成为真正的反代数与反余代数映射，且满足 $ S \circ \alpha = \alpha \circ S $。
• 对于具有可逆 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 的交换 Hom-Hopf 代数，有 $ S^2 = \mathrm{id} $。
• 对于具有可逆 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 的余交换 Hom-Hopf 代数，同样有 $ S^2 = \mathrm{id} $。
• 对于任意原始元 $ h $，存在 $ k \in \mathbb{N} $，使得 $ \alpha^{k+1}(S(h)) = -\alpha^{k+1}(h) $。
• 对于任意群-型元 $ h $，存在 $ k \in \mathbb{N} $，使得 $ \alpha^k(S(h)h) = \alpha^k(hS(h)) = 1 $，且 $ S(h) $ 是 $ h $ 的相对 Hom-逆。