[论文解读] On automorphisms of blowups of $\mathbb{P}^3$

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 9

一句话总结

本文研究了 $\mathbb{P}^3$ 的有限次爆破的自同构，证明了在一大类此类空间中，自同构的首阶与第二阶动力度相等（$\lambda_1(f) = \lambda_2(f)$），且自同构群仅有有限多个连通分支。通过在爆破中心施加几何约束，构造了显式例子，使得所有自同构的拓扑熵为零，从而实现动力刚性。

ABSTRACT

Let $π:X ightarrow \mathbb{P}^3$ be a finite composition of blowups along smooth centers. We show that for "almost all" of such $X$, if $f\in Aut(X)$ then its first and second dynamical degrees are the same. We also construct many examples of finite blowups $X ightarrow \mathbb{P}^3$, whose automorphism group $Aut(X)$ has only finitely many connected components. We also present a heuristic argument showing that for a "generic" compact Kähler manifold $X$ of dimension $\geq 3$, the automorphism group $Aut(X)$ has only finitely many connected components.

研究动机与目标

• 分析 $\mathbb{P}^3$ 有限次爆破上自同构的动力度与拓扑熵。
• 识别爆破中心的几何条件，使得自同构具有零拓扑熵。
• 证明对于一大类此类爆破，自同构群仅有有限多个连通分支。
• 为维度 $\geq 3$ 的一般紧致凯勒流形提供自同构群连通分支有限的启发性论证。

提出的方法

• 利用条件 $c_1(X_j).C \neq 2(g-1)$ 确保动力度相等 $\lambda_1(f) = \lambda_2(f)$。
• 在后续爆破中应用两种不同的几何约束：$\gamma = c_1(X_j).C + 2g - 2 < 0$ 或 $2\kappa < \mu\gamma$，其中 $\kappa = S.C$，$\mu =$ 重数，以强制 $\lambda_1(f) = \lambda_2(f) = 1$。
• 应用格罗莫夫-约明定理，当动力度为 1 时，得出拓扑熵为零。
• 通过在一般位置的点与曲线进行爆破，构造显式例子，确保每一步均满足条件。
• 使用上同调与交集理论论证，验证曲线在其类中不唯一，满足定理 2 条件 2)。
• 将 Bayraktar-Cantat [2] 的证明技巧应用于有限点爆破，以证明 $Aut(X)$ 的连通分支有限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{P}^3$ 的爆破中心满足何种条件时，所得空间的自同构具有相等的首阶与第二阶动力度？
• RQ2 在何种条件下，$\mathbb{P}^3$ 的有限次爆破在自同构群中仅有有限多个连通分支？
• RQ3 对曲线施加几何约束（例如 $\gamma < 0$ 或 $2\kappa < \mu\gamma$）是否能确保所有自同构的拓扑熵为零？
• RQ4 在一般位置假设下，$\mathbb{P}^3$ 爆破的自同构的首阶与第二阶动力度如何表现？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广至其他空间，如 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^1$？

主要发现

• 对于沿满足 $c_1(X_j).C \neq 2(g-1)$ 的点或曲线进行爆破的 $\mathbb{P}^3$，所有自同构均满足 $\lambda_1(f) = \lambda_2(f)$。
• 当爆破满足定理 2 的条件 2) 或 3) 时，所有自同构满足 $\lambda_1(f) = \lambda_2(f) = 1$，意味着拓扑熵为零。
• 对于满足推论 1 条件的爆破，自同构群 $Aut(X)$ 仅有有限多个连通分支。
• 构造了显式例子，使得 $\lambda_1(f) = \lambda_2(f) = 1$，包括在一般位置的点与曲线进行的 $\mathbb{P}^3$ 爆破。
• 例 6 中的曲线 $\widetilde{\Sigma_{0,1}}$ 满足 $c_1(Y).C + 2g - 2 = 0$，因此条件 2) 不适用，但仍满足定理 2 的条件 3)。
• 对于 $d \geq 2$，$\mathbb{P}^3$ 爆破中一个 $d$ 次曲线的严格提升满足 $2\kappa < \mu\gamma$，从而确保 $\lambda_1(f) = \lambda_2(f) = 1$。