[论文解读] On automorphisms of blowups of projective manifolds

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文研究了维度 ≥3 的射影流形的爆破的自同构，重点关注此类自同构具有零拓扑熵的条件。通过使用 nef 上同调类的非零条件，作者证明了对于 Picard 数为 1、Fano 或超凯勒结构的流形的有限次爆破——尤其是当中心维度不超过 dim(X₀)−2 时——任意自同构要么具有零熵，要么是上同调意义下的双曲，从而给出了此类流形的新例子。

ABSTRACT

In this paper we mainly study the following question: For what projective manifold $X$ of dimension $\geq 3$ that any $f\in Aut(X)$ has zero topological entropy? Using some non-vanishing conditions on nef cohomology classes, we study the case where $X ightarrow X_0$ is a finite blowup along smooth centers, here $X_0$ is a projective manifold of interest. Here we allow $X_0$ to be either one of the following manifolds: it has Picard number 1, or a Fano manifold, or it is a projective hyper-Kähler manifold. We also allow the centers of blowups to have large dimensions relative to that of $X_0$ (may be upto $dim(X_0)-2$). Explicit constructions are given in Section ef{SectionBlowupsAndNonVanishingConditions}, where we also show that the assumptions in the results in that section are necessary (see Example 6 in Section ef{SectionBlowupsAndNonVanishingConditions}). As a consequence, we obtain new examples of manifolds $X$, whose any automorphism is either of zero topological entropy or is cohomologically hyperbolic.

研究动机与目标

• 确定哪些维度 ≥3 的射影流形 X 满足其所有自同构的拓扑熵为零。
• 分析当 X₀ 为 Fano、Picard 数为 1 或超凯勒流形时，沿光滑中心进行有限次爆破下自同构的行为。
• 建立自同构具有零熵或上同调双曲性的必要与充分条件——基于 nef 上同调类的非零性。
• 在第 2 节中构造显式例子，以证明定理中假设的必要性，展示结果的紧致性。

提出的方法

• 使用 Gromov-Yomdin 定理将拓扑熵与第一动力度数 λ₁(f) 关联，证明 h_top(f) > 0 当且仅当 λ₁(f) > 1。
• 应用 nef 上同调类上的非零条件 A(r,0) 和 B(r,0)，以限制自同构在上同调上的作用。
• 分析 f* 在 H^{1,1}(X) 上的拉回作用，并利用动力度数的对数凹性推导出谱半径约束。
• 利用爆破上的 Poincaré 对偶性和交点理论，研究 nef 类 ζ 的 cup 积 ζ^{k-1} 和 ζ^{k-2} 的非退化性。
• 在第 2 节中构造显式例子，以证明假设的必要性，包括 dim(V) = 0,1,2,3 的情形。
• 利用 Verbitsky 关于超凯勒流形上 ζ^l 非退化的结果，证明对 0 ≤ p ≤ l 有 λ_p(f) = λ₁(f)^p。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，射影流形 X₀ 的有限次爆破 X → X₀ 的所有自同构均具有零拓扑熵？
• RQ2 nef 上同调类的非零条件（例如 A(r,0)、B(r,0)）如何约束爆破上自同构的动力度数？
• RQ3 是否存在 Fano、Picard 数为 1 或超凯勒流形的有限次爆破，其允许正熵的自同构？若有，其几何条件为何？
• RQ4 爆破中心的维度在决定自同构是否具有零熵或正熵方面起何作用？
• RQ5 能否利用 nef 类 ζ 的 ζ^{k-1} 非零性来证明 λ₁(f) = 1，从而得出 h_top(f) = 0？

主要发现

• 对于 Picard 数为 1、Fano 或超凯勒结构的射影流形 X₀ 的有限次爆破，若对 r = k−l−3 有非零条件 A(r,0) 成立，则任意自同构 f 满足 h_top(f) = 0。
• 当爆破中心的维度 ≤ dim(X₀)−2 时，非零条件 B(0,0) 确保 λ₁(f) = 1，因此 h_top(f) = 0。
• 第 2 节中的显式例子表明，主定理中的假设是必要的，因为当 dim(V) ≤ 3 时，方程组 f(b) = 0 和 g(b) = 0 无解。
• 对于维度为 2l 的超凯勒流形，若 ζ ∈ H^{1,1}_{nef} 非零且 ζ^l ≠ 0，则对 0 ≤ p ≤ l 有 λ_p(f) = λ₁(f)^p，且 λ₁(f) = λ₁(f⁻¹)，这意味着除非 ζ 为无理类，否则 λ₁(f) = 1。
• 若在 X₀ 中，nef 类 ζ 的 ζ^{k−1} 非零，则在交点映射行为一般性的假设下，可推出 λ₁(f) = 1，因此 h_top(f) = 0。
• 本文构造了新的流形 X 的例子，其中每个自同构要么具有零拓扑熵，要么是上同调双曲的，将已知结果推广到了更高维度。