[论文解读] On blocks of defect two and one simple module, and Lie algebra structure of $HH^1$

David J. Benson, Radha Kessar+1 more|City Research Online (City University London)|Apr 15, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文计算了在奇特征 $p$ 域上量子完全交截代数的首 Hochschild 上同调 $HH^1$ 的李代数结构，证明此类代数是可解的，其导出子代数幂零，且其幂零核维数为 $2e$。作为推论，该文在分裂域假设下，建立了有限群代数中缺陷群阶为 $p^2$ 且具有唯一单模的块的 $J(B)/J(B)^2$ 维数的上界 $2ackslashsqrt{I}$。

ABSTRACT

Let $k$ be a field of odd prime characteristic $p$. We calculate the Lie algebra structure of the first Hochschild cohomology of a class of quantum complete intersections over $k$. As a consequence, we prove that if $B$ is a defect $2$-block of a finite group algebra $kG$ whose Brauer correspondent $C$ has a unique isomorphism class of simple modules, then a basic algebra of $B$ is a local algebra which can be generated by at most $2\sqrt I$ elements, where $I$ is the inertial index of $B$, and where we assume that $k$ is a splitting field for $B$ and $C$.

研究动机与目标

• 确定在奇特征 $p$ 域上的一类量子完全交截代数 $A$ 的 $HH^1(A)$ 的李代数结构。
• 利用 $HH^1(A)$ 的幂零核作为 $Z(A)$-模，对对称分裂代数的 quiver 中环的个数建立上界。
• 将这些结果应用于模表示论，特别是缺陷群阶为 $p^2$ 且具有唯一单模的有限群代数的块。
• 研究一个基本代数的最大的 ${\mathcal{O}}$-自由交换商是否为对称代数，为否定对幂零块的刻画提供证据。

提出的方法

• 计算 $A = k\langle x,y \mid x^p = y^p = 0, yx = qxy\rangle$ 的 $HH^1(A)$ 作为李代数，其中 $q$ 是 $k^\times$ 中阶为 $e \geq 2$ 且整除 $p-1$ 的单位根。
• 分析导出李子代数 $\mathcal{L}' = [\mathcal{L}, \mathcal{L}]$，并证明其幂零且为 $p$-张量代数，满足 $({\mathcal{L}}')^{[p]} = \{0\}$。
• 利用 $\mathcal{L}$ 的幂零核作为 $Z(A)$-模，对相关对称代数 $B$ 的 $J(B)/J(B)^2$ 的维数进行上界估计。
• 使用 Morita 类型的稳定等价，将 $A$ 上的界传递到有限群代数的块 $B$ 上。
• 构造 $A$ 的 $p$-进提升 $\hat{A}$ 的最大 ${\mathcal{O}}$-自由交换商，证明其不是对称代数。
• 使用切比雪夫多项式 $f_n(u)$ 描述 $\hat{A}$ 及其交换子理想的 ${\mathcal{O}}$-结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 $p$-幂关系和 $q$-交换关系的量子完全交截代数 $A$，$HH^1(A)$ 的李代数结构是什么？
• RQ2 作为 $Z(A)$-模，$HH^1(A)$ 的幂零核如何约束对称分裂代数的 quiver 结构？
• RQ3 能否利用 $HH^1$ 及其幂零核对对称分裂代数的 quiver 中环的个数进行上界估计？
• RQ4 对于缺陷群阶为 $p^2$ 且具有唯一单模的有限群代数的块 $B$，$J(B)/J(B)^2$ 的维数是多少？
• RQ5 非幂零块的基本代数的最大 ${\mathcal{O}}$-自由交换商是否为对称代数？

主要发现

• 当 $e$ 为 $q$ 在 $k^\times$ 中的阶时，$HH^1(A)$ 的维数为 $2(p + ((p-1)/e)^2)$。
• $HH^1(A)$ 的中心是平凡的：$Z(\mathcal{L}) = \{0\}$。
• 存在一个二维的最大坦勒子代数 $\mathcal{H}$，使得 $\mathcal{L} = \mathcal{H} \oplus \mathcal{L}'$，其中 $\mathcal{L}'$ 幂零。
• $\mathcal{L}'$ 为交换李代数当且仅当 $e = p-1$，且 $\dim_k(Z(\mathcal{L}')) = 2e + 2$。
• $\mathrm{soc}_{Z(A)}(\mathcal{L})$ 的维数为 $2e$，且包含于 $Z(\mathcal{L}')$ 中。
• $\mathcal{L}/\mathcal{L}'$ 的维数为 2，且 $J(Z(A))\mathcal{L} = \mathcal{L}'$。