[论文解读] On Brane-World Cosmology

Yuri Shtanov|ArXiv.org|May 22, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用 32

一句话总结

本文推导了在五维时空中嵌入四维膜世界时，当膜作用量中包含曲率依赖项（特别是四维里奇标量）时的场方程。通过变分总作用量——包括体爱因斯坦-希尔伯特项、边界外曲率项以及膜曲率项——得到了膜上的修正爱因斯坦方程，表明由于膜曲率的二次贡献，能量密度对哈勃参数的标准线性依赖关系被改变。关键结果是一个广义的宇宙学模型，其中膜的动力学因高阶曲率修正而偏离标准弗里德曼-罗伯逊-沃尔克行为。

ABSTRACT

In the study of three-brane cosmological models, an unusual law of cosmological expansion on the brane has been reported. According to this law, the energy density of matter on the brane quadratically enters the right-hand side of the new equations for the brane world, in contrast with the standard cosmology, where it enters the similar equations linearly. However, this result is obtained in the absence of curvature-dependent terms in the action for the brane. In this paper, we derive the field equations for a brane world embedded into a five-dimensional spacetime in the case where such terms are present. We also discuss some cosmological solutions of the resulting equations.

研究动机与目标

• 推导当膜作用量中包含曲率依赖项（特别是四维里奇标量）时，五维时空中膜世界场方程。
• 研究此类曲率项如何修改膜上的宇宙学演化，特别是能量密度与膨胀速率之间的关系。
• 推广此前忽略膜作用量中高阶曲率项的膜世界模型，这些项曾被证明会导致有效弗里德曼方程中出现能量密度的二次依赖关系。
• 为在存在量子修正或高阶曲率项时研究膜上的引力动力学与宇宙学提供一致的框架。

提出的方法

• 总作用量包括五维爱因斯坦-希尔伯特项、边界外曲率项，以及含四维里奇标量和宇宙学常数的膜项。
• 对体度规 $ g_{ab} $ 变分作用量，得到含边界项（涉及外曲率张量 $ K_{ab} $）的五维爱因斯坦方程。
• 对包含 $ {}^{(4)}R $ 项的膜作用量进行变分，导致膜上有效能动张量的修正贡献。
• 利用诱导度规 $ h_{ab} $ 和外曲率 $ K_{ab} $ 将体量投影到膜上，且变分 $ \bar{\delta} h^{ab} $ 通过投影与体变分相关联。
• 证明作用量变分的边界项可简化为 $ \int_{\Sigma} (K_{ab} - K h_{ab}) \delta h^{ab} $，该式对膜上的有效能动张量有贡献。
• 膜上得到的场方程包含一个与四维里奇标量成正比的修正项，从而修改了标准弗里德曼方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 膜作用量中的曲率依赖项如何影响五维体时空下膜上有效场方程？
• RQ2 在膜作用量中引入 $ {}^{(4)}R $ 项会对膜上的宇宙学演化带来何种修正？
• RQ3 当膜上存在高阶曲率项时，能量密度对哈勃参数的标准线性依赖关系是否仍可恢复？
• RQ4 膜作用量中 $ {}^{(4)}R $ 项的存在如何改变膜上有效四维引力理论？

主要发现

• 膜上的场方程因与四维里奇标量 $ {}^{(4)}R $ 成正比的项而被修正，该修正项源于作用量中 $ M_4^2 \int_{\Sigma} {}^{(4)}R $ 项的变分。
• 膜上有效能动张量包括来自外曲率 $ K_{ab} $ 的贡献，导致弗里德曼方程出现能量密度的二次依赖关系。
• 对于 de Sitter 解，得到度规 $ a(\tau) = a_0 \cosh(\tau / a_0) $，表明当能量密度为常数时，膜上呈现 de Sitter 时空。
• 推导表明，作用量变分的边界项可简化为 $ \int_{\Sigma} (K_{ab} - K h_{ab}) \delta h^{ab} $，该式对膜上有效应力-能量张量有贡献。
• 膜作用量中 $ {}^{(4)}R $ 项的存在导致宇宙动力学出现非平凡修正，偏离标准弗里德曼-罗伯逊-沃尔克形式。