[论文解读] On category O for cyclotomic rational Cherednik algebras

Iain J. Gordon, Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用 48

一句话总结

本文建立了类型 Gℓ(n) 的循环有理 Cherednik 代数的类别 𝒪 的导出等价与最高权等价，证明了在 ℤℓ 作用下 𝒪ₚ 与 𝒪σ(p) 等价，当 p−p′∈ℤ 时 𝒪ₚ 与 𝒪ₚ′ 导出等价，且在非有理参数条件下 𝒪ₚ 与 GL(n) 的抛物子类别 𝒪 等价。这些结果确认了 Etingof 与 Rouquier 关于表示理论与范畴化猜想的特例。

ABSTRACT

We study equivalences for category O_p of the rational Cherednik algebras H_p of type G_l(n) = μ_l^n times S_n: a highest weight equivalence between O_p and O_{σ(p)} for σ\in S_l and an action of S_l on a non-empty Zariski open set of parameters p; a derived equivalence between O_p and O_{p'} whenever p and p' have integral difference; a highest weight equivalence between O_p and a parabolic category O for the general linear group, under a non-rationality assumption on the parameter p. As a consequence, we confirm special cases of conjectures of Etingof and of Rouquier.

研究动机与目标

• 建立类别 𝒪ₚ 与 𝒪σ(p) 之间的最高权等价，其中 σ∈𝔖ℓ，表明参数的置换下具有对称性。
• 当参数 p 与 p′ 相差一个整数向量时，构造 𝒪ₚ 与 𝒪ₚ′ 之间的导出等价，推广了有理 Cherednik 代数表示理论中的已知结果。
• 在参数 p 不是有理数的假设下，证明类别 𝒪ₚ 与 GL(n) 的抛物子类别 𝒪 之间存在最高权等价，将 Cherednik 代数表示理论与经典李群表示理论联系起来。
• 通过高阶 Fock 空间范畴化，确认 Etingof 与 Rouquier 关于循环有理 Cherednik 代数结构及其范畴化的猜想的特例。
• 在非有理参数条件下，对类别 𝒪ₚ 中的有限维表示提供组合分类。

提出的方法

• 利用对称群 Gℓ(n) 的商空间 (𝔥×𝔥*)/Gℓ(n) 的辛解析上的 Weyl 群作用，该作用可提升至量子化，从而在球面子代数上诱导对称性。
• 在辛解析上使用一个倾斜丛，将解析上的凝聚层与 ℂ[𝔥×𝔥*] 上的等变模之间诱导出导出等价，该等价可提升至非交换情形。
• 在形变量子化上的环面等变层类别与 Cherednik 代数的环面等变表示类别之间构造导出等价。
• 通过一系列约化将 𝒪 的导出范畴约化至这些等变范畴，从而将导出等价性转移至 Cherednik 代数设定。
• 在参数 p 不是有理数的假设下，应用高阶 Schur-Weyl 对偶性，将类型 Gℓ(n) 的退化 Hecke 代数与 GL(n) 的抛物子类别 𝒪 联系起来。
• 使用微局部几何与 KZ 函子，将球面类别 𝒪 与全类别 𝒪 联系起来，并分析投影函子 e:𝒪ₚ→𝒪ₚsph 的核。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称群 𝔖ℓ 是否在循环有理 Cherednik 代数的参数空间上作用，从而在 𝒪ₚ 与 𝒪σ(p) 之间诱导出最高权等价？
• RQ2 当参数 p 与 p′ 相差一个整数向量时，类别 𝒪ₚ 与 𝒪ₚ′ 是否导出等价？
• RQ3 当参数 p 不是有理数时，类别 𝒪ₚ 是否可实现为 GL(n) 的抛物子类别 𝒪？如果是，其显式等价关系为何？
• RQ4 函子 e:𝒪ₚ→𝒪ₚsph 的核的结构是什么？它与格罗滕迪克群有何关系？
• RQ5 能否在非等变 𝒟α-模范畴内，通过支撑集与单值性条件，定义一个微局部类别 𝒪？

主要发现

• 作者为所有 σ∈𝔖ℓ 构造了 𝒪ₚ 与 𝒪σ(p) 之间的最高权等价，表明参数空间在对称群作用下具有对称性。
• 当参数 p 与 p′ 相差一个整数向量时，他们建立了 𝒪ₚ 与 𝒪ₚ′ 之间的导出等价，将已知结果推广至循环情形。
• 在参数 p 不是有理数的假设下，构造了 𝒪ₚ 与 GL(n) 的抛物子类别 𝒪 之间的最高权等价，显式地将 Cherednik 代数表示理论与经典李群表示理论联系起来。
• 𝒪ₚ 与抛物子类别 𝒪 之间的等价关系使得 𝒪ₚ 中不可约表示的支撑集可被组合刻画，并在非有理参数条件下对有限维表示实现精确分类。
• 结果确认了 Etingof 与 Rouquier 关于循环有理 Cherednik 代数结构及其通过高阶 Fock 空间范畴化的猜想的特例。
• 本文为通过 𝒟α-模的支撑集与单值性条件定义微局部类别 𝒪 提供了证据，暗示了一种在奇异或非循环情形下定义类别 𝒪 的新框架。