[论文解读] On certain constructions of p-adic families of Siegel modular forms of even genus

Hisa-aki Kawamura|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 42被引用 9

一句话总结

本文通过杜克-伊马莫格鲁提升，将希达的p进普通椭圆尖点形式p进族提升至水平为p、偶数亏格2n ≥ 2的p进解析族霍尔莫夫-西格尔尖点形式。此外，还对具有平凡Nebentypus的偶数亏格西格尔Eisenstein级数建立了类似构造，证明了提升形式的傅里叶系数在Λ-进族中p进插值，支持了同一希达族中形式提升之间模p的同余关系。

ABSTRACT

Suppose that p > 5 is a rational prime. Starting from a well-known p-adic analytic family of ordinary elliptic cusp forms of level p due to Hida, we construct a certain p-adic analytic family of holomorphic Siegel cusp forms of arbitrary even genus and of level p associated with Hida's p-adic analytic family via the Duke-Imamoglu lifting provided by Ikeda. Moreover, we also give a similar results for the Siegel Eisenstein series of even genus with trivial Nebentypus.

研究动机与目标

• 通过希达的p进普通椭圆尖点形式族，构造水平为p、偶数亏格2n ≥ 2的西格尔尖点形式的p进解析族。
• 将构造扩展至具有平凡Nebentypus的偶数亏格西格尔Eisenstein级数。
• 证明提升形式的傅里叶系数在Λ-进族中p进插值，支持模p同余关系。
• 提供数值证据，验证同一希达族中椭圆形式提升之间存在p进同余关系，特别针对亏格4。

提出的方法

• 通过杜克-伊马莫格鲁提升，将希达的水平为p的通用普通p-稳定化新形式族提升至亏格2n的西格尔尖点形式，该提升保持L-函数的函子性。
• 通过在希达族中不同权之间插值提升形式的傅里叶展开，构造Λ-进西格尔模形式。
• 使用Iwasawa代数Λ = ℤ_p[[1 + pℤ_p]]，将p进族参数化为系数属于有限平坦Λ-代数的形式q-展开式。
• 应用Shintani提升与傅里叶系数F_l(T; X)的归纳公式，计算并比较提升形式的系数。
• 通过Wolfram Mathematica 7进行数值计算，验证同一希达族中椭圆形式提升的傅里叶系数之间p进同余关系。
• 分析系数差的范数，确认其可被p整除，支持共同p进族的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过杜克-伊马莫格鲁提升，将希达的水平为p的p进普通椭圆尖点形式族提升为亏格2n ≥ 2的p进解析族西格尔尖点形式？
• RQ2 提升后的西格尔尖点形式的傅里叶系数是否构成一个Λ-进族，从而在不同权之间插值q-展开式？
• RQ3 是否存在一个通过相同提升过程从希达族导出的p进解析族，其为具有平凡Nebentypus的偶数亏格西格尔Eisenstein级数？
• RQ4 同一希达族中椭圆形式提升的傅里叶系数是否满足模p主理想下的p进同余关系？
• RQ5 数值证据是否能确认来自同一希达族的提升形式的傅里叶系数之差可被p整除？

主要发现

• 当p = 11时，对判别式为121的矩阵，Lift⁴(f₁₂)与Lift⁴(f₃₂)的傅里叶系数之差可被p = 11整除，其范数因式分解为2⁸·3⁴·5⁵·11·171449·680531·35058959130397。
• 对于所有满足0 < T ∈ Sym₄*(ℤ)且4 ≤ 𝔻_T ≤ 457的T，系数差A_T(Lift⁴(f₁₂)) − A_T(Lift⁴(f₃₂))的范数可被p = 11整除，支持模p同余关系。
• 当p = 19时，数值证据确认Lift⁴(f₂₀)与Lift⁴(f₅₆)的傅里叶系数之间存在同余关系，表明它们位于同一19进解析族中。
• 对于i = 1,2,3且𝔻_T = 121，傅里叶系数F₁₁(T_i; X)为1 − 1452X + 161051X²，表明在不同代表元间局部L-函数行为一致。
• 预期存在一个偶数亏格2n ≥ 2的Λ-进西格尔Eisenstein级数，其插值(E_{k+n}^{(2n)})*的完整q-展开式，支持p进族的存在性。
• 通过杜克-伊马莫格鲁提升的构造确保了提升形式的标准L-函数满足L(s, Lift^{(2n)}(f), st) = ζ(s) ∏_{i=1}^{2n} L(s + k + n − i, f)，从而确认函子性。