[论文解读] On closedness under convolution roots related to an infinitely divisible distribution in the distribution class L(γ)

Hui Xu, Yuebao Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文研究了在类 $\mathcal{L}(\gamma)$ 中，无穷可分分布的分布类在卷积根下的闭包性质。通过构造显式反例，证明了 $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ 和 $(\mathcal{L}(\gamma)\cap\mathcal{OS})\setminus\mathcal{S}(\gamma)$ 在卷积根下不封闭，从而以否定方式解决了 Embrechts 和 Goldie 长期以来的这一猜想。

ABSTRACT

We consider questions related to the well-known conjecture due to Embrechts and Goldie on the closedness of different classes of heavy- and light-tailed distributions with respect to convolution roots. We show that the class L(γ)\cap OS is not closed under convolution roots related to an infinitely divisible distribution for any γ\ge0, i.e. we provide examples of infinitely divisible distributions belonging to this class such that the corresponding Levy spectral distribution does not. We also prove a similar statement for the class (L(γ)\cap OS)\ S(γ). In order to facilitate our analysis, we explore the structural properties of some of the classes of distributions, and study some properties of the well-known transformation from a heavy-tailed distribution to a light-tailed one.

研究动机与目标

• 解决 Embrechts 和 Goldie 关于无穷可分分布在卷积根下分布类闭包性质的猜想。
• 确定类 $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ 是否对任意 $\gamma \geq 0$ 在卷积根下封闭。
• 检验类 $(\mathcal{L}(\gamma)\cap\mathcal{OS})\setminus\mathcal{S}(\gamma)$ 在卷积根下的闭包性质。
• 构造显式反例，表明 $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ 中一个无穷可分分布的 Levy 谱测度不属于同一类。

提出的方法

• 通过在 $x_i$ 与 $y_i$ 之间设置递增的间隙，构造一个重尾分布 $F_0$，其生存函数分段定义，以违反条件 (4.6) 同时满足 (4.7)。
• 定义一个具有分段常数密度和生存函数的分布 $F_1$，使其满足 $F_1 \in \mathcal{L}$ 和条件 (4.7)，但不满足条件 (4.6)。
• 利用变换 $\overline{F_0}(x) = \overline{F_1}(x)\mathbf{1}(x < x_1) + \sum_{i=1}^\infty \left( \overline{F_1}(x_i)\mathbf{1}(x_i \leq x < y_i) + \overline{F_1}(x)\mathbf{1}(y_i \leq x < x_{i+1}) \right)$ 定义 $F_0$，使得 $\overline{F_0}(y_n - 1)/\overline{F_0}(y_n) \to a > 1$，从而确保 $F_0 \notin \mathcal{L}$。
• 验证 $F_0$ 满足条件 (4.7) 但不满足 (4.6)，从而证明这两个条件是独立的。
• 证明由于 $f_1(x) = o(\overline{F_1}(x))$，$F_0$ 不满足条件 (4.6)，而 $F_1$ 满足 (4.7) 且 $F_1 \in \mathcal{L}$。
• 使用局部分布类 $\mathcal{L}_{\text{loc}}$、$\mathcal{S}_{\text{loc}}$、$\mathcal{OS}_{\text{loc}}$ 和 $\mathcal{OL}_{\text{loc}}$ 将分析扩展到该猜想的局部版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 类 $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ 对任意 $\gamma \geq 0$ 是否在卷积根下封闭？
• RQ2 类 $(\mathcal{L}(\gamma)\cap\mathcal{OS})\setminus\mathcal{S}(\gamma)$ 是否仍保持在卷积根下的封闭性？
• RQ3 一个属于 $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ 的分布，其 Levy 谱测度是否可能不属于同一类？
• RQ4 条件 (4.6) 和 (4.7) 对于 $\mathcal{L}(\gamma)$ 中的分布是否在逻辑上独立？
• RQ5 局部版本的 Embrechts-Goldie 猜想是否对类 $(\mathcal{L}_{\text{loc}}\cap\mathcal{OS}_{\text{loc}})\setminus\mathcal{S}_{\text{loc}}$ 成立？

主要发现

• 类 $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ 对任意 $\gamma \geq 0$ 在卷积根下不封闭，通过构造一个属于该类的无穷可分分布，其 Levy 谱测度不属于该类，从而得到证明。
• 类 $(\mathcal{L}(\gamma)\cap\mathcal{OS})\setminus\mathcal{S}(\gamma)$ 同样不封闭于卷积根，提供了反例。
• 条件 (4.6) 和 (4.7) 在逻辑上是独立的：一个分布可以满足其中一个而不满足另一个，这通过显式构造 $F_0$ 和 $F_1$ 得到证明。
• 所构造的分布 $F_0$ 满足 $\lim_{n\to\infty} \overline{F_0}(y_n - 1)/\overline{F_0}(y_n) = a > 1$，证明了 $F_0 \notin \mathcal{L}$，但仍然满足条件 (4.7)。
• 局部类 $(\mathcal{L}_{\text{loc}}\cap\mathcal{OS}_{\text{loc}})\setminus\mathcal{S}_{\text{loc}}$ 在卷积根下不封闭，确认了该猜想局部版本的否定结果。
• 结果在全局和局部两种设定下，对指定的分布类提供了对 Embrechts-Goldie 猜想的完整否定回答。