[论文解读] On cohomological Hall algebras of quivers : Yangians

Olivier Schiffmann, Éric Vasserot|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 20

一句话总结

本文建立了奎瓦表示的拉格朗日子堆栈的上同调霍尔代数 $\mathbf{Y}^1$ 与 Maulik-Okounkov 杨代数 $\mathbb{Y}$ 之间的猜想同构，构造了一个显式嵌入 $\mathbf{Y}^1 \subseteq \mathbb{Y}$，该嵌入保持其在奎瓦概形上同调上的作用。关键结果是对任意无边环的奎瓦图，精确比较了这些代数及其表示。

ABSTRACT

We consider the cohomological Hall algebra Y of a Lagrangian substack of the moduli stack of representations of the preprojective algebra of an arbitrary quiver Q, and its actions on the cohomology of quiver varieties. We conjecture that Y is equal, after a suitable extension of scalars, to the Yangian introduced by Maulik and Okounkov, and we construct an embedding of Y in the Yangian, intertwining the respective actions of both algebras on the cohomology of quiver varieties.

研究动机与目标

• 比较作用于奎瓦概形上同调的上同调霍尔代数 $\mathbf{Y}^1$ 与 Maulik-Okounkov 杨代数 $\mathbb{Y}$。
• 猜想 $\mathbf{Y}^1$ 在标量扩张后同构于杨代数 $\mathbb{Y}$。
• 构造一个显式嵌入 $\mathbf{Y}^1 \subseteq \mathbb{Y}$，保持其在上同调上的作用。
• 将有限型、仿射型及乔丹奎瓦图的已知结果推广至无边环的任意奎瓦图。
• 通过上同调霍尔代数作用，提供通用标准模的几何实现。

提出的方法

• 定义 $\mathbf{Y}^1 = \bigoplus_v H^{G(v) \times T}_*(\Lambda^1(v))$，其中 $\Lambda^1(v)$ 是预李代数表示模空间的拉格朗日子堆栈。
• 通过留数构造稳定胞腔，并定义 $\mathbf{Y}^1$ 在奎瓦概形上同调上的作用。
• 利用 RTT 形式化与辛几何定义作用于贝里-莫尔同调的 Maulik-Okounkov 杨代数 $\mathbb{Y}$。
• 通过广义赫克对应与 $R$-矩阵建立映射 $\mathbf{Y}^1 \to \mathbb{Y}$。
• 证明嵌入 $\mathbf{Y}^1 \subseteq \mathbb{Y}$ 保持其在 $F_w = \bigoplus_v H^{G(w) \times T}_*(\mathfrak{M}(v,w))$ 上的作用。
• 利用极限圈与留数映射，将 $\mathfrak{Z}_{\varepsilon,\mathbb{G}_m}$ 上的循环与稳定胞腔及 $R$-矩阵关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标量扩张后，上同调霍尔代数 $\mathbf{Y}^1$ 是否同构于 Maulik-Okounkov 杨代数 $\mathbb{Y}$？
• RQ2 上同调霍尔代数 $\mathbf{Y}^1$ 与杨代数 $\mathbb{Y}$ 在奎瓦概形上同调上的作用有何比较？
• RQ3 杨代数作用能否通过赫克对应与稳定胞腔实现几何化？
• RQ4 在奎瓦概形的背景下，$R$-矩阵与稳定胞腔之间的确切关系为何？
• RQ5 嵌入 $\mathbf{Y}^1 \subseteq \mathbb{Y}$ 是否保持通用标准模的结构？

主要发现

• 本文构造了一个显式嵌入 $\mathbf{Y}^1 \subseteq \mathbb{Y}$，该嵌入保持其在奎瓦概形上同调上的作用。
• 稳定胞腔构造提供了 $R$-矩阵的几何实现，并将其与广义赫克对应联系起来。
• 稳定胞腔在开子集上的限制被证明是拉回映射，这是证明其与杨代数作用相容性的关键。
• 极限圈 $\operatorname{stab}_\varepsilon = \pm \lim_0 [\mathfrak{Z}_{\varepsilon,\mathbb{G}_m}]$ 支撑于 $\mathfrak{gp}_\varepsilon$，其限制与零级稳定胞腔的拉回一致。
• $\mathbf{Y}^1$ 在 $F_w$ 上的作用与 $\mathbb{Y}$ 的作用相容，这通过限制与拉回下循环类的相容性得以证明。
• 命题 4.8 的证明依赖于交集 $\mathfrak{h}^\diamond_1 \cap \mathfrak{h}_1[v_1,\Lambda_\nu;w]$ 的非空性，从而确认了循环分解的一致性。