[论文解读] On complexity of cyclic coverings of graphs

Young Soo Kwon, Alexander Mednykh+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2018

Graph theory and applications参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文利用切比雪夫多项式，为有限图的n重循环覆盖中生成树数量τ(n)（即复杂度）推导出一个显式的解析公式。通过电压多项式的Mahler测度，建立了τ(n)在n→∞时的渐近行为，并证明了生成函数F(x) = ∑τ(n)xⁿ是有理函数且具有整数系数。

ABSTRACT

By complexity of a finite graph we mean the number of spanning trees in the graph. The aim of the present paper is to give a new approach for counting complexity $τ(n)$ of cyclic $n$-fold coverings of a graph. We give an explicit analytic formula for $τ(n)$ in terms of Chebyshev polynomials and find its asymptotic behavior as $n o\infty$ through the Mahler measure of the associated voltage polynomial. We also prove that $F(x)=\sum\limits_{n=1}^\inftyτ(n)x^n$ is a rational function with integer coefficients.

研究动机与目标

• 推导有限图n重循环覆盖中生成树数量τ(n)的显式解析公式。
• 利用电压多项式的Mahler测度，确定τ(n)在n→∞时的渐近行为。
• 证明生成函数F(x) = ∑τ(n)xⁿ是有理函数且具有整数系数。
• 通过电压赋值，将循环覆盖的复杂度与切比雪夫多项式及洛朗多项式联系起来。
• 将已知关于循环图族（如循环图和广义彼得森图）中生成树复杂度的结果推广至循环覆盖。

提出的方法

• 通过在基图H的边上赋电压，构造Hₙ的n重循环覆盖。
• 通过特征值分解，将Hₙ的拉普拉斯矩阵表示为循环矩阵与切比雪夫多项式的组合。
• 对电压洛朗多项式P(z)应用切比雪夫变换，得到Q(w) = ∑cₖTₖ(w)，其中Tₖ为切比雪夫多项式。
• 利用循环矩阵的特征值公式及所有循环矩阵共享相同特征向量的事实，对拉普拉斯矩阵进行对角化。
• 利用恒等式τ(Hₙ) = (1/n) ∏_{j=0}^{n-1} λ_j(Hₙ)，将τ(n)表示为在单位根处求值的Q(w)的函数。
• 通过证明其满足由递推关系特征多项式导出的线性递推关系，证明F(x) = ∑τ(n)xⁿ是有理函数且具有整数系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以闭式表达图的n重循环覆盖中生成树数量？
• RQ2 当n→∞时，τ(n)的渐近增长速率是什么？它与电压多项式的Mahler测度有何关系？
• RQ3 在何种条件下，生成函数F(x) = ∑τ(n)xⁿ是有理函数且具有整数系数？
• RQ4 切比雪夫多项式如何自然地出现在循环覆盖的谱分析中？
• RQ5 能否使用单一代数框架，统一表达不同图族中循环覆盖的复杂度？

主要发现

• n重循环覆盖Hₙ中生成树数量τ(n)由τ(n) = (1/n) ∏_{j=0}^{n-1} Q(εⁿʲ)给出，其中Q(w)为电压洛朗多项式的切比雪夫变换。
• 当n→∞时，对数复杂度满足lim_{n→∞} (log τ(n))/n = ∫₀¹ log|P(e²πⁱᵗ)| dt，其值等于P(z)的Mahler测度。
• 对于Haar图Hₙ(1,2)，有τ(n) ∼ (n/2)(2+√3)ⁿ（当n→∞时），且有显式公式τ(n) = (−1)ⁿ(Tₙ(−2)−1)。
• 生成函数F(x) = ∑τ(n)xⁿ是有理函数且具有整数系数；例如，在Haar图情形下，F(x) = 3(1+u+u²)/(2(1−u)(2+u)²)，其中u = −½(x + 1/x)。
• 对于Y(n;1,1,1)图，若n为奇数，则τ(n) = 3^{n−1}n Lₙ⁴；若n为偶数，则τ(n) = 25·3^{n−1}n Fₙ⁴，其中Lₙ与Fₙ分别为卢卡斯数与斐波那契数。
• 在三圆图中，当(α,β,γ)=(1,2,3)时，有τ(n) = (n(−4)^{n+1}/19)(1 − Tₙ(−11/8))，且F(x) = 2(3+8u+8u²)/((1−u)(11+8u)²)，其中u = −½(4x + 1/(4x))。