[论文解读] On Computing the Shadows and Slices of Polytopes

Hans Raj Tiwary|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文研究了沿正交方向投影多面体的计算复杂性，表明当投影方向任意时，大多数投影变体要么等价于顶点枚举（VE-complete），要么为NP难。然而，对于非退化方向，投影的面可在输出敏感的多项式时间内枚举，从而在一般条件下实现高效计算。

ABSTRACT

We study the complexity of computing the projection of an arbitrary $d$-polytope along $k$ orthogonal vectors for various input and output forms. We show that if $d$ and $k$ are part of the input (i.e. not a constant) and we are interested in output-sensitive algorithms, then in most forms the problem is equivalent to enumerating vertices of polytopes, except in two where it is NP-hard. In two other forms the problem is trivial. We also review the complexity of computing projections when the projection directions are in some sense non-degenerate. For full-dimensional polytopes containing origin in the interior, projection is an operation dual to intersecting the polytope with a suitable linear subspace and so the results in this paper can be dualized by interchanging vertices with facets and projection with intersection. To compare the complexity of projection and vertex enumeration, we define new complexity classes based on the complexity of Vertex Enumeration.

研究动机与目标

• 分类在各种输入和输出表示下计算多面体投影的计算复杂性。
• 建立多面体投影与顶点枚举（VE）问题之间的关系。
• 识别投影变得可高效计算的条件，特别是针对非退化投影方向。
• 基于顶点枚举的难度，定义并应用新的复杂性类——VE完全、VE难、VE易。
• 为在投影方向非退化时计算投影的面，提供输出敏感的多项式时间算法。

提出的方法

• 使用输出敏感的复杂性分析，根据输入和输出规模评估算法。
• 通过已知难问题的归约，将投影问题归约为顶点枚举（VE）或建立NP难性。
• 应用几何对偶性：当多面体包含原点在其内部时，多面体的投影等价于与线性子空间的交。
• 使用线性规划来测试多面体的(d−2)维面是否投影为像中的脊线，基于面法向量的凸组合。
• 引入引理7，通过检查某个凸包是否包含最后一个k个坐标为零的向量，来确定(d−2)维面是否映射为投影中的脊线。
• 使用引理8，通过在系数可行域上求解线性规划，提取形成投影中脊线的两个面的法向量。

实验结果

研究问题

• RQ1 沿k个正交方向投影d维多面体时，计算其投影的顶点或面的计算复杂性是什么？
• RQ2 多面体投影的复杂性与顶点枚举（VE）问题有何关联？
• RQ3 在何种投影方向条件下，问题可被高效求解，即在输出敏感的多项式时间内求解？
• RQ4 当输入为H-多面体且方向为非退化时，能否高效计算投影的面结构？
• RQ5 多面体理论中投影与交运算之间是否存在可被用于复杂性分析的对偶性？

主要发现

• 对于任意投影方向，计算H-多面体投影的面或顶点是NP难的。
• 通过投影和冗余去除，计算V-多面体投影的顶点可在输出敏感的多项式时间内求解。
• 当投影方向为非退化时，H-多面体投影的面可在输出敏感的多项式时间内枚举。
• 即使该问题不是NP难的，沿非退化方向计算H-多面体投影的顶点仍为VE难。
• 对于HV-多面体，非退化投影允许在输出敏感的多项式时间内枚举投影的顶点和面。
• 沿任意方向的投影复杂性要么为VE完全，要么为NP难，仅存在两种平凡情况例外。