[论文解读] PhaseLift: Exact and Stable Signal Recovery from Magnitude Measurements via Convex Programming

Emmanuel J. Candès, Thomas Strohmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 17被引用 27

一句话总结

PhaseLift 提出了一种凸优化框架，通过求解一个迹范数最小化问题，能够从仅含幅度的测量中精确恢复复信号。该方法证明，在高概率下，当测量数 $ m \thicksim n/\log n $ 时，仅需在单位球面上随机采样即可实现对全局相位的精确恢复，且该方法在存在加性噪声时仍具有鲁棒性。

ABSTRACT

Suppose we wish to recover a signal x in C^n from m intensity measurements of the form ||^2, i = 1, 2,..., m; that is, from data in which phase information is missing. We prove that if the vectors z_i are sampled independently and uniformly at random on the unit sphere, then the signal x can be recovered exactly (up to a global phase factor) by solving a convenient semidefinite program---a trace-norm minimization problem; this holds with large probability provided that m is on the order of n log n, and without any assumption about the signal whatsoever. This novel result demonstrates that in some instances, the combinatorial phase retrieval problem can be solved by convex programming techniques. Finally, we also prove that our methodology is robust vis a vis additive noise.

研究动机与目标

• 解决信号处理中长期存在的相位恢复难题，即测量过程中相位信息丢失的问题。
• 克服传统非凸相位恢复方法的计算不可行性，这些方法在一般情况下为 NP-难问题。
• 提出一种凸松弛方法，在最小采样条件下保证精确恢复，且无需对信号施加先验假设。
• 确保在实际应用中测量受噪声污染时，方法对加性噪声具有鲁棒性。
• 证明在随机测量设计下，组合优化的相位恢复问题可等价地通过凸规划求解。

提出的方法

• 通过将信号 $\bm{x} \in \mathbb{C}^n$ 提升为一个秩一矩阵 $\bm{X} = \bm{x} \bm{x}^*$，将相位恢复问题重新表述为低秩矩阵恢复问题。
• 定义一个线性测量算子 $\mathcal{A}$，将 $\bm{X}$ 映射为幅度平方内积的向量 $|\langle \bm{x}, \bm{z}_i \rangle|^2$。
• 将恢复问题形式化为一个凸优化问题：在约束 $\mathcal{A}(\bm{X}) = \bm{b}$ 和 $\bm{X} \succeq 0$ 下最小化 $\|\bm{X}\|_*$（迹范数）。
• 利用随机矩阵理论证明，以高概率，该凸规划的解唯一且为秩一矩阵，从而恢复出 $\bm{x}$ 到全局相位的等价类。
• 提出该规划的噪声感知变体，引入噪声能量的上界，确保在噪声测量下实现稳定恢复。
• 在重建后应用去偏技术，进一步提升低信噪比（SNR）场景下的精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当测量向量在单位球面上独立同分布随机采样时，该凸松弛方法能否精确恢复信号，仅依赖于幅度测量？
• RQ2 精确恢复所需的最小测量数是多少？该数量是否随信号维度高效缩放？
• RQ3 所提出的凸规划对加性噪声是否具有鲁棒性？在噪声功率受限条件下，能否保证有界的重构误差？
• RQ4 该方法是否无需对信号结构或稀疏性施加先验假设仍保持有效？
• RQ5 与非凸、组合优化方法相比，该凸松弛方法在精度和稳定性方面是否表现相当或更优？

主要发现

• 以高概率，$ m \thicksim n\log n $ 个在单位球面上随机采样的测量数足以通过 PhaseLift 实现对全局相位等价类的精确信号恢复。
• 当测量向量 $\bm{z}_i$ 在复单位球面上独立同分布时，该凸规划可保证精确恢复，且无需对信号施加任何先验知识。
• 该方法对加性噪声具有鲁棒性：在有界噪声功率下，重构误差与噪声水平成正比，如定理 1.2 所形式化。
• 数值实验表明，随着信噪比降低，性能呈渐进退化趋势，且去偏技术在低信噪比条件下进一步提升了精度。
• 相对均方误差（MSE）近似与测量数成反比，表明该恢复过程具有稳定性和可扩展性。
• 该框架适用于泊松和高斯噪声模型，仿真中观察到相似的性能趋势。