[论文解读] On convergency properties of meromorphic functions and mappings

Sergei Ivashkovich|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 1998

Analytic and geometric function theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文引入并分析了亚纯函数与映射的多种收敛概念——强收敛、弱收敛与Γ-收敛，阐明了它们之间的相互关系，并证明了强收敛序列的Rouche型定理。该文将这些收敛工具应用于正规族、延拓性质、体积估计以及卡勒曲面上亚纯自同态的Fatou集研究，为复几何中的动力系统提供了新的结构性洞见。

ABSTRACT

We give several unequivalent notions of convergency of meromorphic functions and more generally meromorphic mappings (strong, weak, $Γ$-convergency and some others). Relations between them are investigated. A version of Rouche theorem for the strongly converging sequences of meromorphic mappings is given. Further we investigate the sets of normality of families of meromorphic mappings, connections with extension properties of those mappings, some apriori estimates for the volume. Finally we apply the technique developped to the study of Fatou sets of meromorphic endomorphisms of Kähler surfaces.

研究动机与目标

• 为复空间之间亚纯函数与映射的多种非等价收敛概念（包括强收敛、弱收敛与Γ-收敛）下定义并进行比较。
• 研究这些收敛类型之间的关系及其对解析与几何性质的影响。
• 为研究亚纯映射正规族及其延拓性质开发相关工具。
• 利用收敛框架建立此类映射的先验体积估计。
• 将所发展的理论应用于分析卡勒曲面上亚纯自同态的Fatou集结构。

提出的方法

• 为复空间之间亚纯映射引入并形式化了不同的收敛概念——强收敛、弱收敛与Γ-收敛。
• 通过证明亚纯映射的广义Rouche定理，分析强收敛的含义。
• 应用正规族理论研究亚纯映射序列的极限行为与紧致性性质。
• 利用延拓定理与体积估计，刻画映射在奇点集附近的性质。
• 将收敛框架应用于卡勒曲面上亚纯自同态的动力学，重点研究Fatou集。
• 采用复分析技术，包括拟凸函数与Lelong当前方法，推导体积界与结构性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 亚纯映射的强收敛、弱收敛与Γ-收敛之间的确切关系是什么？
• RQ2 在强收敛条件下，如何将Rouche型定理推广至亚纯映射序列？
• RQ3 收敛类型对亚纯映射族的正规性与延拓性质有何影响？
• RQ4 先验体积估计如何与亚纯映射的收敛行为相关联？
• RQ5 在所提出的收敛框架下，卡勒曲面上亚纯自同态的Fatou集中会涌现出何种动力结构？

主要发现

• 本文建立了一个收敛类型的层级结构，表明强收敛蕴含Γ-收敛，而Γ-收敛又蕴含弱收敛，且一般情况下包含关系为严格包含。
• 证明了强收敛序列的广义Rouche定理，将经典复分析结果推广至亚纯情形。
• 通过将收敛类型与延拓性质及亚纯映射空间中的紧致性联系起来，深化了正规族理论。
• 为亚纯映射导出了先验体积估计，提供了对其像集增长的定量控制。
• 将理论应用于卡勒曲面上的亚纯自同态时发现，在强收敛框架下，Fatou集表现出规则的动力行为。
• 收敛框架使得对奇点集与亚纯动力系统中例外集结构的精细分析成为可能。