[论文解读] On Corner Scattering for Operators of Divergence Form and Applications to Inverse Scattering

Fioralba Cakoni, Jingni Xiao|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 31被引用 6

一句话总结

该论文证明，在由散度型算子控制的二维散射问题中，若不均匀体具有凸角，且在角点处电导率对比度以二阶方式趋于零，或角 aperture 为 π 的无理数倍，则任何入射波均会被散射。通过复几何光学（CGO）解与传输特征值分析，作者证明了仅凭单个入射波的散射数据即可唯一确定不均匀体支撑的多边形凸包。

ABSTRACT

We consider the scattering problem governed by the Helmholtz equation with inhomogeneity in both `conductivity' in the divergence form and `potential' in the lower order term. The support of the inhomogeneity is assumed to contain a convex corner. We prove that, due to the presence of such corner under appropriate assumptions on the potential and conductivity in the vicinity of the corner, any incident field scatters. Based on corner scattering analysis we present a uniqueness result on determination of the polygonal convex hull of the support of admissible inhomogeneities, from scattering data corresponding to one single incident wave. These results require only certain regularity around the corner for the coefficients modeling the inhomogeneity, whereas away from the corner they can be quite general. Our main results on scattering and inverse scattering are established for $\mathbb{R}^2$, while some analytic tools are developed in any dimension $n\geq 2$.

研究动机与目标

• 建立具有特定电导率和势能对比度的不均匀介质中，凸角始终散射入射波的结论。
• 将角落散射理论扩展至具有变系数的散度型算子，包括电导率和势能对比度。
• 通过证明单个入射波的散射数据唯一确定不均匀体支撑的多边形凸包，实现逆散射中的唯一性。
• 分析在角落存在时，传输特征函数被赫尔格洛茨波函数逼近的关系，揭示特征函数无法在角落之外延拓。
• 在任意维度 n ≥ 2 中发展分析工具，重点应用于二维情形，并为三维圆锥与边角散射奠定基础。

提出的方法

• 构造适用于散度型算子中变系数与角落几何的复几何光学（CGO）解。
• 利用渐近展开与奇点分析，研究解在角落顶点附近的局部行为。
• 通过传输特征值问题，将非散射行为与特征函数在角落外的可延拓性联系起来。
• 应用赫尔格洛茨波函数逼近框架，证明若逼近中的核在 L² 范数下一致有界，则特征函数在角落处必为零。
• 通过证明在给定条件下非散射在角落不可能发生，建立逆散射中的唯一性。
• 利用微局部分析与椭圆PDE理论的结果，分析角落附近奇异性的正则性与传播特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维不均匀介质中，当电导率与势能为变系数时，何种条件下凸角会始终散射任意入射波？
• RQ2 能否仅凭单个入射波的散射数据唯一确定不均匀体支撑的多边形凸包？
• RQ3 传输特征函数被赫尔格洛茨函数逼近与角落处非散射行为之间存在何种关系？
• RQ4 当电导率对比度在角落处以二阶方式趋于零时，角落的张角如何影响散射行为？
• RQ5 是否存在特殊角落——尤其是电导率对比度非零的情形——使得散射可能不发生？这对逆散射有何影响？

主要发现

• 若支撑包含在顶点处电导率对比度以二阶方式趋于零的凸角，则任意入射波在不均匀体外部均产生非零散射场。
• 若角落张角为 π 的无理数倍，则所有入射波均被散射，只要势能对比度非零，无论电导率对比度如何。
• 对于电导率对比度非零或趋于零速度慢于二阶的角落，除特定类入射场外，所有入射波均被散射。
• 传输特征函数 $ v $ 无法被具有一致有界 $ L^2 $ 核的赫尔格洛茨函数逼近，除非其在角落处为零，这意味着在这些条件下非散射不可能发生。
• 赫尔格洛茨函数在 $ abla abla abla $ 空间中解的集合中是稠密的，但该稠密性对可能对应于非散射波的特征函数不成立。
• 通过角落散射建立了唯一形状确定性：不均匀体支撑的多边形凸包可由远场数据唯一识别。