[论文解读] On corners scattering stably, nearly non-scattering interrogating waves, and stable shape determination by a single far-field pattern

Emilia Blåsten, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文建立了基于单个远场模式的逆声散射问题的精确定量稳定性估计，证明了在 R² 或 R³ 中，多面体非均匀介质的支撑可被稳定恢复。此外，研究进一步表明，角散射始终会产生一个正的散射能量下限，从而排除了使用含角的各向同性材料实现近似隐身斗篷的可能性。

ABSTRACT

In this paper, we establish two sharp quantitative results for the direct and inverse time-harmonic acoustic wave scattering. The first one is concerned with the recovery of the support of an inhomogeneous medium, independent of its contents, by a single far-field measurement. For this challenging inverse scattering problem, we establish a sharp stability estimate of logarithmic type when the medium support is a polyhedral domain in $\mathbb{R}^n$, $n=2,3$. The second one is concerned with the stability for corner scattering. More precisely if an inhomogeneous scatterer, whose support has a corner, is probed by an incident plane-wave, we show that the energy of the scattered far-field possesses a positive lower bound depending only on the geometry of the corner and bounds on the refractive index of the medium there. This implies the impossibility of approximate invisibility cloaking by a device containing a corner and made of isotropic material. Our results sharply quantify the qualitative corner scattering results in the literature, and the corresponding proofs involve much more subtle analysis and technical arguments. As a significant byproduct of this study, we establish a quantitative Rellich's theorem that continues smallness of the wave field from the far-field up to the interior of the inhomogeneity. The result is of significant mathematical interest for its own sake and is surprisingly not yet known in the literature.

研究动机与目标

• 建立从单个远场模式恢复非均匀介质支撑的精确对数稳定性估计。
• 通过证明散射远场能量的正下限，量化角散射现象。
• 排除使用含角的各向同性材料实现近似隐身斗篷的可能性。
• 发展一种定量版本的 Rellich 定理，将远场中的小量性质扩展至非均匀体内部。
• 为角散射在逆散射与直接散射问题中不稳定性现象提供数学上严格的理论基础。

提出的方法

• 利用对具有多面体支撑的非均匀介质中 Helmholtz 方程的高级分析。
• 应用复几何与泛函分析技术，在对数型界下推导出精确的稳定性估计。
• 采用定量的 Rellich 型定理，将远场中的小量传播至散射体内部。
• 通过积分表示与渐近展开分析波在角附近的散射行为。
• 推导出仅依赖于角几何结构与折射率界远场能量下限。
• 结合微局部分析与唯一延拓原理，证明在角处几乎零散射的不可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从单个远场测量中稳定恢复多面体非均匀介质的支撑？
• RQ2 当具有角的散射体被平面波照射时，其散射远场能量的定量下限是多少？
• RQ3 使用含角的各向同性材料能否实现近似隐身斗篷？
• RQ4 远场中波场的小量能否被定量地推广至非均匀体内部？
• RQ5 几何奇点（如角）如何影响散射波的稳定性与强度？

主要发现

• 在 R² 或 R³ 中，从单个远场模式恢复多面体非均匀介质支撑的精确对数稳定性估计得以建立。
• 在平面波照射下，具有角的散射体的散射远场能量被一个仅依赖于角几何结构与折射率界正的常数所下界控制。
• 由于散射能量存在正的下限，使用含角的各向同性材料实现近似隐身斗篷是不可能的。
• 证明了一种新的定量 Rellich 型定理，表明远场中波场的小量可推出其在非均匀体内部的小量。
• 本研究首次在文献中提供了定性角散射现象的精确定量版本。
• 分析表明，角本质上会产生强烈的散射，即使在数据极少的情况下也具有可检测性。