[论文解读] On Curvature Tensors of Hermitian Manifolds

Bo Yang, Fangyang Zheng|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 12

一句话总结

本文研究了厄米特流形上的曲率张量，聚焦于满足凯勒曲率张量所有对称性条件的度量——称为G-凯勒类似或凯勒类似度量。证明了若黎曼曲率张量与厄米特曲率张量相等，则该度量必为凯勒度量，并推导出曲率差异与厄米特联络挠率之间显式关系式，揭示了非凯勒几何如何改变曲率对称性。

ABSTRACT

In this article, we examine the behavior of the Riemannian and Hermitian curvature tensors of a Hermitian metric, when one of the curvature tensors obeys all the symmetry conditions of the curvature tensor of a Kähler metric. We will call such metrics G-Kähler-like or Kähler-like, for lack of better terminologies. Such metrics are always balanced when the manifold is compact, so in a way they are more special than balanced metrics, which drew a lot of attention in the study of non-Kähler Calabi-Yau manifolds. In particular we derive various formulas on the difference between the Riemannian and Hermitian curvature tensors in terms of the torsion of the Hermitian connection. We believe that these formulas could lead to further applications in the study of Hermitian geometry with curvature assumptions.

研究动机与目标

• 确定黎曼与厄米特曲率张量相等是否意味着厄米特度量为凯勒度量。
• 分析G-凯勒类似与凯勒类似度量的几何意义——即其曲率张量满足凯勒曲率张量所有对称性条件的厄米特度量。
• 推导出黎曼与厄米特曲率张量差异的显式公式，以厄米特联络的挠率表示。
• 探讨此类曲率条件在非凯勒卡拉比-丘几何中的作用，特别是在斯特罗明格系统背景下的意义。

提出的方法

• 通过曲率张量的对称性条件引入G-凯勒类似与凯勒类似度量的概念。
• 利用厄米特流形的结构方程，将曲率分量与厄米特（陈）联络的挠张量联系起来。
• 推导出显式公式（定理5.1），将黎曼与厄米特双截面曲率之差表示为挠张量分量的二次型。
• 应用复线性代数与酉标架计算，将曲率差异与几乎复结构协变导数的范数联系起来。
• 分析全纯截面曲率的差异，表明其非负，且仅当度量为凯勒时为零。
• 利用第一比安基恒等式与格雷定理，在G-凯勒类似条件下约束曲率分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼与厄米特曲率张量相等是否意味着厄米特度量为凯勒度量？
• RQ2 当厄米特度量的曲率张量满足凯勒曲率张量的所有对称性条件时，会产生何种几何约束？
• RQ3 如何以厄米特联络的挠率表示黎曼与厄米特曲率张量之间的差异？
• RQ4 在非凯勒厄米特流形中，黎曼与厄米特联络的双截面曲率之间存在何种关系？
• RQ5 G-凯勒类似或凯勒类似度量是否在紧致非凯勒卡拉比-丘3-流形中发挥结构性作用，特别是在斯特罗明格系统中？

主要发现

• 若黎曼曲率张量R与厄米特曲率张量R^h相等，则度量为凯勒度量，为此前未解问题提供了肯定答案。
• 对称化后的厄米特双截面曲率与黎曼双截面曲率B_0之间的差异是挠张量的二次表达式，且与挠率导数无关。
• 全纯截面曲率差异满足 R^h_{X\bar{X}X\bar{X}} - R_{X\bar{X}X\bar{X}} = 2∑|T^X_{kX}|² ≥ 0，等号成立当且仅当挠率消失，即度量为凯勒度量。
• 黎曼双截面曲率B_{-1}的迹为正交方向上里奇曲率之和的一半，即 Ric_{-1}(X) = ½(Ric(u) + Ric(Ju))，其中u为实切向量。
• 标量曲率满足 ∑B_{-1}(e_i,e_j) = ½Scal，表明标量曲率受B_{-1}迹的控制。
• 对任意酉标架，差值 R^h_{X\bar{X}Y\bar{Y}} + R^h_{Y\bar{Y}X\bar{X}} - 2R_{X\bar{Y}Y\bar{X}} 等于 ∑(|T^k_{XY}|² + 2Re(T^Y_{kY} \bar{T}^X_{kX}))，明确将曲率差异与挠率分量联系起来。