[论文解读] On cylindrically bounded $H$-Hypersurfaces of $\mathbb{H}^{n} imes \mathbb{R}$

G. Pacelli Bessa, Silvana M. Costa|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文在里奇曲率具有强二次衰减的条件下，建立了 $ℝ^n \times \mathbb{R}$ 和 $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 中完备、柱状有界的 H-超曲面的平均曲率 |H| 的精确下界。利用 Omori-Yau 极大值原理与 Hessian 比较定理，证明了在双曲空间中 |H| ≥ (n−1)/n，在球面空间中当超曲面被限制在半径 r < π/2 的球体内时 |H| ≥ (n−1) cot(r)/n。

ABSTRACT

We show that $H$-hypersurfaces of $\mathbb{H}^{n} imes \mathbb{R}$ contained in a vertical cylinder and with Ricci curvature with strong quadratic decay have mean curvature $| H| &gt; (n-1)/n$.

研究动机与目标

• 将 Bessa-Montenegro 关于 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中紧致 H-超曲面的结果推广至完备、柱状有界的 H-超曲面。
• 在超曲面被包含于竖直柱面且里奇曲率具有强二次衰减的条件下，建立 |H| 的下界。
• 证明当 |H| < (n−1)/n 时，此类超曲面是非抛物的。
• 将结果推广至 $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 的情形，获得相应的曲率与平均曲率下界。

提出的方法

• 利用完备黎曼流形上里奇曲率满足强二次衰减条件的 Omori-Yau 极大值原理。
• 应用 Hessian 比较定理，估算距离函数与浸入映射复合后的拉普拉斯算子。
• 根据基流形的径向曲率与平均曲率 |H|，推导出复合函数 f = g ◦ φ 的拉普拉斯算子的下界。
• 利用复合函数 f 的有界性（源于柱状有界性），通过次调和性与极大值原理导出矛盾。
• 在曲率衰减与有界性假设下，假设 |H| < (n−1)/n（在 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中）或 |H| < (n−1) cot(r)/n（在 $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 中）时，导出矛盾。
• 应用广义的 Omori-Yau 极大值原理于梯度与拉普拉斯算子趋于零的点列，若平均曲率下界过小则导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中紧致 H-超曲面的下界 |H| ≥ (n−1)/n 推广至完备、柱状有界的 H-超曲面？
• RQ2 若里奇曲率具有强二次衰减，完备、柱状有界的 H-超曲面在 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中的平均曲率会如何变化？
• RQ3 在强曲率衰减条件下，$\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中完备有界极小曲面是否存在非存在性结果？
• RQ4 当 |H| < (n−1)/n 且里奇曲率呈二次衰减时，$\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中柱状有界的 H-超曲面是否保持非抛物性？
• RQ5 对于被限制在半径 r < π/2 的测地球内的 $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 中的 H-超曲面，其平均曲率的类似下界是什么？

主要发现

• 对于在 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中具有强二次衰减里奇曲率的完备、柱状有界的 H-超曲面，有 $\sup_M |H| \geq (n-1)/n$。
• 若 |H| < (n-1)/n 且里奇曲率具有强二次衰减，则不存在此类完备、柱状有界的 H-超曲面。
• 在 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中，若 |H| < (n-1)/n 且平均曲率有界，则柱状有界的 H-超曲面是非抛物的。
• 在 $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 中，若超曲面的投影位于半径 r < π/2 的测地球内，则在强里奇曲率衰减下有 $\sup_M |H| \geq (n-1)\cot(r)/n$。
• 在 $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 中，若 |H| < (n-1)\cot(r)/n 且里奇曲率具有强二次衰减，则不存在此类完备、柱状有界的 H-超曲面。
• 当 |H| \leq (n-1)\cot(r)/n 且里奇曲率满足强二次衰减时，此类超曲面在 $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 中的非抛物性成立。