[论文解读] On Deterministic Markov Processes: Expandability and Related Topics
本文建立了判定给定确定性函数 $ f:[0,\infty)\to\mathbb{R}^d $ 是否可作为确定性马尔可夫过程路径的标准，特别关注半鞅和伊藤过程结构。主要贡献在于以跳跃行为为依据，对一维确定性马尔可夫过程的半鞅性质进行了表征，揭示了此类过程比具有跳跃结构的亨特过程更为复杂。
We treat the class of universal Markov processes on the d-dimensional Euklidean space which do not depend on random. For these, as well as for several subclasses, we prove criteria whether a function f, defined on the positive half-line, can be a path of a process in the respective class. This is useful in particular in the construction of (counter-)examples. Furthermore we characterize the processes of this kind, which are homogeneous in space and time. The semimartingale property is characterized in terms of the jumps of a one-dimensional deterministic Markov process. We emphasize the differences between the time homogeneous and the time inhomogeneous case and we show that a deterministic Markov process is in general more complicated than a Hunt process plus 'jump structure'.
研究动机与目标
- 确定给定确定性函数 $ f:[0,\infty)\to\mathbb{R}^d $ 何时可作为某类确定性马尔可夫过程的路径（例如半鞅、伊藤过程）。
- 澄清时齐与时非齐确定性马尔可夫过程之间的结构差异。
- 研究确定性马尔可夫过程是否可为半鞅，以及在何种条件下成立。
- 探讨将此类过程建模为附加跳跃成分的亨特过程的局限性。
提出的方法
- 本文利用可扩展性概念，判定给定路径是否可嵌入至确定性马尔可夫过程之中。
- 通过其跳跃行为与路径正则性，表征一维确定性马尔可夫过程的半鞅性质。
- 分析依赖于生成元的符号以及过程的时非齐结构，尤其在时空扩展情形下。
- 引入单射路径映射 $ \Phi^x(t) = (X_t^x, t) $ 以研究时非齐情形，并推导生成元符号。
- 通过分段线性与自相似路径构造显式反例，以展示非马尔可夫行为与路径复杂性。
- 应用随机分析技术，包括半鞅特征与鞅问题，以分析路径性质。
实验结果
研究问题
- RQ1给定确定性路径 $ f:[0,\infty)\to\mathbb{R}^d $ 是否可作为某类确定性马尔可夫过程（如半鞅、伊藤过程）的路径？
- RQ2一维确定性马尔可夫过程的半鞅性质在路径结构与跳跃行为方面如何表征？
- RQ3时齐与时非齐确定性马尔可夫过程在路径行为与结构复杂性方面有何差异？
- RQ4两个时齐确定性马尔可夫过程的和是否仍为时齐且马尔可夫？
- RQ5在多大程度上可将确定性马尔可夫过程建模为附加跳跃分量的亨特过程？
主要发现
- 确定性马尔可夫过程不一定是半鞅，且其半鞅性质可由其一维路径的跳跃行为表征。
- 存在一维情形下非有界变差且不具单调性的确定性马尔可夫过程。
- 两个时齐确定性马尔可夫过程的和不一定是时齐或马尔可夫的，已通过显式反例证明。
- 即使在时齐条件下，也可通过线性漂移与跳跃结构的组合，构造在有限时间内趋于无穷的确定性过程。
- 时非齐确定性马尔可夫过程的时空扩展结果为时齐过程，但其生成元符号变为路径相关且非平凡。
- 时空过程生成元符号依赖于路径在对应点的右导数，且由于马尔可夫性质，该表达式是良定义的。
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