[论文解读] On directed homotopy equivalences and a notion of directed topological complexity

Éric Goubault|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文引入了一种类定向同伦等价（dihomotopy equivalence）的新概念及其对应的定向拓扑复杂度（$\overrightarrow{TC}$），并证明了$\overrightarrow{TC}$在dihomotopy等价下保持不变。研究结果表明，当且仅当一个空间与一点dihomotopy等价（即dicontractible）时，其$\overrightarrow{TC} = 1$，从而将经典拓扑复杂度推广至定向空间，在机器人学与控制理论中具有应用价值。

ABSTRACT

This short note introduces a notion of directed homotopy equivalence and of "directed" topological complexity (which elaborates on the notion that can be found in e.g. Farber's book) which have a number of desirable joint properties. In particular, being dihomotopically equivalent implies having bisimilar natural homologies (defined in Dubut et al. 2015). Also, under mild conditions, directed topological complexity is an invariant of our directed homotopy equivalence and having a directed topological complexity equal to one is (under these conditions) equivalent to being dihomotopy equivalent to a point (i.e., to being "dicontractible", as in the undirected case). It still remains to compare this notion with the notion introduced in Dubut et al. 2016, which has lots of good properties as well. For now, it seems that for reasonable spaces, this new proposal of directed homotopy equivalence identifies more spaces than the one of Dubut et al. 2016.

研究动机与目标

• 定义一种新的定向同伦等价（dihomotopy equivalence）概念，以更好地捕捉定向拓扑空间中的结构不变性。
• 引入适用于机器人学与控制理论的定向版本拓扑复杂度（$\\overrightarrow{TC}$），其中路径方向性与控制约束具有重要意义。
• 建立$\overrightarrow{TC}$在dihomotopy等价下的不变性，确保在等价空间间具有鲁棒性。
• 证明$\overrightarrow{TC} = 1$当且仅当一个空间dihomotopy等价于一点（即dicontractible），与经典收缩性结果相呼应。

提出的方法

• 将d-空间之间的d-映射定义为保持定向路径（d-路径）的连续映射，构成dihomotopy等价的基础。
• 引入d-路径空间映射$\chi: PX \to X \times X$，其中$PX$为配备紧凑-开拓扑的d-路径空间，且$\chi(p) = (p(0), p(1))$，推广经典路径空间纤维化。
• 通过d-映射对$f: X \to Y$与$g: Y \to X$构造dihomotopy等价，使得$f \circ g$与$g \circ f$可通过d-同伦同伦于恒等映射。
• 利用$\chi$像空间上的诱导映射$f^*: \Gamma_X \to \Gamma_Y$与$g^*: \Gamma_Y \to \Gamma_X$，实现在不同空间之间连续截面的转移。
• 通过使用$f$与$g$提供的逆同伦数据，在分划子集$F_i^Y$上构造连续截面，借助连续双分次确保连续性，从而证明$\overrightarrow{TC}$的不变性。
• 利用$\chi$存在全局连续截面的事实，证明$\overrightarrow{TC}(X) = 1$当且仅当$X$是dihomotopy等价于一点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种定向同伦等价的概念，使得定向拓扑复杂度在等价关系下保持不变？
• RQ2 当$\overrightarrow{TC} = 1$时，是否意味着该空间dihomotopy等价于一点，类似于经典收缩性结果？
• RQ3 与文献[8]中的概念相比，新定义的dihomotopy等价在识别等价空间的数量上是更多还是更少？
• RQ4 是否能通过在$\Gamma_X$的分划子集上对d-路径空间映射$\chi$使用连续截面来计算定向拓扑复杂度？
• RQ5 在CAT(0)立方复形的通用双覆盖中，$\overrightarrow{TC}$与最大d-路径数或层级数之间是否存在结构性联系？

主要发现

• 定向拓扑复杂度$\overrightarrow{TC}$在dihomotopy等价下保持不变：若$X$与$Y$是dihomotopy等价的，则$\overrightarrow{TC}(X) = \u005Coverrightarrow{TC}(Y)$。
• 在适度的拓扑条件下，一个空间满足$\overrightarrow{TC}(X) = 1$当且仅当其dihomotopy等价于一点，即dicontractible。
• 通过逆同伦数据构造$\chi: PX \to \Gamma_X$的连续截面，确保$\overrightarrow{TC}$在等价空间间保持不变。
• 新定义的dihomotopy等价关系识别出比文献[8]中概念更多的等价空间，表明其为更粗的等价关系。
• 对于空心立方体d-空间，$\overrightarrow{TC}(X) = 2$，严格小于经典拓扑复杂度，凸显了定向情形下的关键差异。
• 证明依赖于同伦逆$F_{a,b}$与$G_{c,d}$的连续双分次，确保了在$\Gamma_X$与$\Gamma_Y$的分划上提升截面的连续性。