[论文解读] On Dual Formulation of Gravity. II. Metric and Affine Connection

Yu. M. Zinoviev|ArXiv.org|Jun 26, 2005

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文提出了一种引力的双重形式，其中仿射联络是主要的动力学场，通过在（反）德西特空间中的首阶母拉格朗日量推导得出。通过添加二次校正项以恢复规范不变性，并求解度规，得到的二阶拉格朗日量与爱丁顿1924年的作用量完全一致，表明在弯曲背景中，仿射联络形式与标准度规引力是双重对应的。

ABSTRACT

In this note we construct a dual formulation of gravity where the main dynamical object is affine connection. We start with the well known first order Palatini formulation but in (Anti) de Sitter space instead of flat Minkowski space as a background. The final result obtained by solving equations for the metric is the Lagrangian written by Eddington in his book in 1924. Also there is an interesting connection with attempts to construct gravitational analog of Born-Infeld electrodynamics.

研究动机与目标

• 开发一种引力的双重形式，其中仿射联络是基本动力学场，而非度规。
• 通过在（反）德西特空间中工作，克服平坦空间中规范不变性的破坏，该空间引入了二次质量项。
• 表明在（反）德西特空间中，对无质量自旋-2粒子的对偶化程序与对有质量粒子的程序完全相同，这是由于规范对称性约束。
• 通过将仿射联络作为主要场，在Palatini形式中推导出爱丁顿1924年拉格朗日量作为引力的双重形式。
• 探讨物质耦合的含义，特别是标量场和矢量场在双重仿射形式中的表现。

提出的方法

• 从一个首阶Palatini型拉格朗日量出发，其中对称张量 $ h_{\mu\nu} $ 和仿射联络 $ \Gamma_{\mu\nu}{}^\alpha $ 适应于（反）德西特背景。
• 用（反）德西特背景度规 $ \bar{g}_{\mu\nu} $ 和协变导数 $ D_\mu $ 替代平坦闵可夫斯基度规和偏导数，引入曲率修正项。
• 通过在 $ h_{\mu\nu} $ 中添加二次项并修改 $ \Gamma $ 的规范变换规则（包括曲率依赖的修正），恢复首阶拉格朗日量的规范不变性。
• 通过代数运动方程求解 $ h_{\mu\nu} $，将其表示为通过仿射联络定义的类似里奇张量 $ R_{(\mu\nu)} $ 的形式。
• 将解代回拉格朗日量，得到仅以仿射联络表示的二阶作用量。
• 识别出所得拉格朗日量与仅依赖于仿射联络及其曲率的爱丁顿1924年作用量完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种引力的双重形式，其中仿射联络是主要动力学场而非度规？
• RQ2 在（反）德西特空间中，如何恢复首阶拉格朗日量的规范不变性，特别是在平坦空间失效时？
• RQ3 为何在（反）德西特空间中，对无质量粒子的对偶化程序与对有质量粒子的程序行为完全相同？
• RQ4 以仿射联络表示的最终二阶拉格朗日量是否重现了爱丁顿1924年的作用量？
• RQ5 在该双重仿射形式中，物质耦合（特别是标量和矢量场）如何表现？

主要发现

• 在（反）德西特空间中，引力的双重形式导致一个仅以仿射联络表示的二阶拉格朗日量，其与爱丁顿1924年作用量完全一致。
• 通过在 $ h_{\mu\nu} $ 中添加二次项，并引入曲率参数 $ \kappa $ 的修正，恢复了首阶拉格朗日量的规范不变性。
• 解 $ h_{\mu\nu} $ 的表达式为 $ h_{\mu\nu} = \frac{1}{\kappa(d-1)}[R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\bar{g}_{\mu\nu}R] $，其中 $ R_{\mu\nu} $ 是由仿射联络构造的类似里奇张量。
• 最终拉格朗日量 $ \mathcal{L}_{II} = -\frac{1}{\kappa(d-1)}[R^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}R^2] + \bar{g}^{\mu\nu}(\Gamma_{\mu\nu}{}^\alpha\Gamma_\alpha - \Gamma_{\mu\alpha}{}^\beta\Gamma_{\nu\beta}{}^\alpha) $ 在局部仿射变换下保持不变。
• 在常曲率背景的小扰动下，拉格朗日量简化为 $ \mathcal{L} = \sqrt{\det(\Lambda\bar{g}_{\mu\nu} + \tilde{R}_{\mu\nu})} $，其形式与Born-Infeld型引力模型一致。
• 在双重形式中，物质耦合涉及将 $ R_{\mu\nu} $ 替换为 $ R_{\mu\nu} + \frac{1}{2}\partial_\mu\varphi\partial_\nu\varphi $（标量场），对有质量标量场则需修正宇宙学常数，而矢量场在双重形式中导致高度非线性方程。