[论文解读] On dynamics of composite entire functions and singularities

Dinesh Kumar, Sanjay Kumar|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Meromorphic and Entire Functions参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文研究了复合超越整函数的动力行为，重点关注 $f$、$g$ 及其复合函数 $f\circ g$ 和 $g\circ f$ 的 Fatou 集与奇点值之间的关系。研究建立了 $F(f) = F(f\circ g)$ 成立的条件，特别是在 $f$ 与 $g$ 可交换时，并推导了在复合下临界值与渐近值的包含关系，表明 $f\circ g$ 中临界点的有界性蕴含 $f$ 与 $g$ 中的有界性，同时对 Picard 特殊值施加了限制。

ABSTRACT

We consider the dynamical properties of transcendental entire functions and their compositions. We give several conditions under which Fatou set of a transcendental entire function $f$ coincide with that of $f\circ g,$ where $g$ is another transcendental entire function. We also prove some result giving relationship between singular values of transcendental entire functions and their compositions.

研究动机与目标

• 确定超越整函数 $f$ 的 Fatou 集与另一超越整函数 $g$ 的复合函数 $f\circ g$ 的 Fatou 集相等的条件。
• 分析 $f$、$g$ 及其复合函数 $f\circ g$ 和 $g\circ f$ 的奇点值（临界值与渐近值）之间的关系。
• 研究 $f\circ g$ 中临界点的有界性如何约束 $f$ 与 $g$ 的临界结构，特别是对 Picard 特殊值的限制。
• 探讨共轭与可交换性在关联 $f$、$g$ 及其复合函数动力学方面的作用。

提出的方法

• 利用正规族及 Fatou 集与 Julia 集的性质，分析复合下的动力行为。
• 应用 Eremenko-Lyubich 类 $\mathcal{B}$ 与集合 $E(f) = \bigcup_{n\geq 0} f^n(\text{Sing}\,f^{-1})$，研究游荡域与极限函数。
• 建立包含关系：$f(AV(g)) \subset AV(f\circ g)$，$g(CP(f\circ g)) \subset CP(f) \cup CV(g)$，以及 $AV(f) \subset AV(f\circ g)$。
• 利用 Bolzano-Weierstrass 定理从临界点的无限有界集中导出矛盾，证明对 Picard 特殊值的约束。
• 借助函数方程 $f \circ g = g \circ f$（可交换性）推导出 Fatou 集的相等性。
• 利用共形共轭 $\phi \circ f = g \circ \phi$ 关联不同函数之间的动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于可交换的超越整函数 $f$ 与 $g$，有 $F(f) = F(f\circ g)$ 成立？
• RQ2 函数 $f$ 与 $g$ 的渐近值与临界值如何与 $f\circ g$ 和 $g\circ f$ 的值相关联？
• RQ3 若 $CP(f\circ g)$ 有界，会对 $CP(f)$、$CP(g)$ 以及 $f$ 与 $g$ 的临界值施加何种约束？
• RQ4 在 $CP(f\circ g)$ 有界的前提下，$f$ 与 $g$ 能否各自拥有超过一个临界值是对方的 Picard 特殊值？
• RQ5 共轭与可交换性在多大程度上保持了如 Fatou 集与奇点值等动力结构？

主要发现

• 若 $f$ 与 $g$ 是可交换的超越整函数，则 $F(f\circ g)$ 关于 $f\circ g$ 完全不变，且在奇点值满足附加条件时，有 $F(f) = F(f\circ g)$。
• 有 $f(AV(g)) \subset AV(f\circ g)$，表明 $g$ 的渐近值映射到复合函数的渐近值中。
• 包含关系 $g(CP(f\circ g)) \subset CP(f) \cup CV(g)$ 表明，$f\circ g$ 的临界点在 $g$ 下的像属于 $f$ 或 $g$ 的临界点或临界值点。
• 若 $CP(g\circ f)$ 有界，则 $CP(f)$ 有界，且 $g$ 至多有一个临界点是 $f$ 的 Picard 特殊值。
• 若 $CP(f\circ g)$ 有界，则 $CV(g)$ 有界，且 $f$ 至多有一个临界值是 $g$ 的 Picard 特殊值。
• 若 $AV(f\circ g)$ 有界，则 $AV(f)$ 也有界，此结论由推论 2.10 所示。