[论文解读] On Einstein's effective viscosity formula

Mitia Duerinckx, Antoine Gloria|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 46被引用 8

一句话总结

本文严格证明了稀释悬浮液中刚性粒子在斯托克斯流下的爱因斯坦有效粘度公式的合理性，确立了一阶展开，并通过新颖的重整化技术推导出任意阶的完整簇展开。它证明了著名的巴彻勒-格林二阶修正项，并首次给出了所有更高阶重整化项的显式公式，通过组合、变分和概率方法解决了流体动力学相互作用中的长期悬而未决的细微问题。

ABSTRACT

In his PhD thesis, Einstein derived an explicit first-order expansion for the effective viscosity of a Stokes fluid with a suspension of small rigid particles at low density. His formal derivation relied on two implicit assumptions: (i) there is a scale separation between the size of the particles and the observation scale; and (ii) at first order, dilute particles do not interact with one another. In mathematical terms, the first assumption amounts to the validity of a homogenization result defining the effective viscosity tensor, which is now well understood. Next, the second assumption allowed Einstein to approximate this effective viscosity at low density by considering particles as being isolated. The rigorous justification is, in fact, quite subtle as the effective viscosity is a nonlinear nonlocal function of the ensemble of particles and as hydrodynamic interactions have borderline integrability. In the present memoir, we establish Einstein's effective viscosity formula in the most general setting. In addition, we pursue the low-density expansion to arbitrary order in form of a cluster expansion, where the summation of hydrodynamic interactions crucially requires suitable renormalizations. In particular, we justify a celebrated result by Batchelor and Green on the second-order correction and we explicitly describe all higher-order renormalizations for the first time. In some specific settings, we further address the summability of the whole cluster expansion. Our approach relies on a combination of combinatorial arguments, variational analysis, elliptic regularity, probability theory, and diagrammatic integration methods.

研究动机与目标

• 在斯托克斯流中，针对稀释悬浮液的刚性粒子，严格推导爱因斯坦一阶有效粘度公式的合理性。
• 通过发展流体动力学相互作用的系统性簇展开，将低密度展开扩展至一阶以上。
• 通过新颖的重整化技术，解决成对流体动力学相互作用的非可加和性问题。
• 首次显式刻画簇展开中所有更高阶重整化项的结构。
• 在特定情形下建立完整簇展开的可加和性，并确定收敛速率。

提出的方法

• 利用组合论证组织粒子相互作用贡献，发展有效粘度的簇展开。
• 应用变分分析和椭圆正则性理论，控制粒子包含物对斯托克斯流响应的影响。
• 运用概率论和 α-混合条件，处理随机粒子构型并推导矩估计。
• 使用图解积分方法，系统追踪并重整化长程流体动力学相互作用引起的发散贡献。
• 实施有限体积逼近方案，将离散粒子系统与连续均质化极限联系起来。
• 结合卡恰波利和多尺度庞加莱型不等式与压强估计，控制能量耗散和方差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在粒子分布和尺寸的最小假设下，爱因斯坦一阶有效粘度公式能否被严格推导？
• RQ2 尽管流体动力学相互作用不可加和，第二阶及更高阶修正项在低密度展开中能否系统计算？
• RQ3 为使簇展开在数学上定义良好，所需的重整化过程的精确结构是什么？
• RQ4 在何种条件下，完整簇展开是可加和的？可建立何种收敛速率？
• RQ5 有效粘度能否被表征为粒子构型的非线性、非局部泛函，并给出显式误差界？

主要发现

• 本文在一般低密度条件下，严格证明了爱因斯坦一阶公式的有效性：在三维中，$\bar{B} = \text{Id} \left(1 + \frac{5}{2}\phi + o(\phi)\right)$。
• 通过完全重整化的簇展开，确立了著名的巴彻勒-格林二阶修正项。
• 作者首次给出了簇展开中所有更高阶重整化项的显式公式。
• 在特定情形下，证明了完整簇展开的可加和性，收敛速率为 $O(L^{-\gamma})$，其中 $\gamma > 0$。
• 该方法给出了有效粘度方差的定量估计，边界为 $O(3^{-\gamma n})$，适用于二进制尺度。
• 分析结果表明，非牛顿效应仅在高阶出现，与爱因斯坦在主导阶的普遍性猜想一致。