[论文解读] On (Enriched) Left Bousfield Localization of Model Categories

Clark Barwick|ArXiv.org|Aug 15, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 31

一句话总结

本文在模型范畴中建立了左博斯菲尔德局部化及其丰富化版本的存在性，提供了一套通过反转一类映射来构造新模型范畴的框架。文章刻画了这些局部化中的纤维化，并将该理论应用于构造右奎勒预层的同伦极限、庞蒂亚金塔以及对称单一同伦模型范畴中满足同伦一致下降条件的预层的模型。

ABSTRACT

I verify the existence of left Bousfield localizations and of enriched left Bousfield localizations, and I prove a collection of useful technical results characterizing certain fibrations of (enriched) left Bousfield localizations. I also use such Bousfield localizations to construct a number of new model categories, including models for the homotopy limit of right Quillen presheaves, for Postnikov towers in model categories, and for presheaves valued in a symmetric monoidal model category satisfying a homotopy-coherent descent condition.

研究动机与目标

• 在组合模型范畴与可处理模型范畴中建立左博斯菲尔德局部化的存在性。
• 将理论扩展至丰富化模型范畴，定义并证明丰富化左博斯菲尔德局部化的存在性。
• 对这些局部化模型结构中的纤维化提供刻画，特别是那些为在局部纤维对象之间的纤维化上的同伦拉回的纤维化。
• 将局部化机制应用于构造新的模型范畴，包括右奎勒预层的同伦极限与庞蒂亚金塔的模型。
• 为取值于对称单一同伦模型范畴且满足同伦一致下降条件的预层开发一个模型。

提出的方法

• 在组合模型范畴中使用史密斯的左博斯菲尔德局部化存在性定理，依赖于生成协纤维与生成循环协纤维的小集合。
• 应用可处理模型范畴的框架，以确保局部化在协纤维与弱等价性上具有可控性。
• 将 $H$-局部对象定义为：对所有 $f \in H$，其导出映射空间 $\mathbf{R} \operatorname{Mor}_{\mathbf{M}}(f,X)$ 为弱等价；并在同一基础范畴上构造局部化模型结构。
• 在丰富化设定中，通过 enriching category $\mathbf{V}$ 中的导出映射对象 $\mathbf{RMor}_{\mathbf{M}}^{\mathbf{V}}(f,X)$ 定义 $(H/\mathbf{V})$-局部对象，并证明丰富化局部化的存在性。
• 将某些 $H$-局部纤维化刻画为在 $H$-局部纤维对象之间的纤维化上的同伦拉回，从而提供一种实用的检测方法。
• 将局部化机制应用于构造模型范畴，包括模型范畴的图的同伦极限、庞蒂亚金塔，以及通过丰富范畴中的列极限与 holim 构造得到的下降范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 在组合或可处理模型范畴中，对任意映射类 $H$，左博斯菲尔德局部化是否存在？
• RQ2 当模型范畴关于对称单一同伦模型范畴 $\mathbf{V}$ 丰富化时，是否可以构造出丰富化的左博斯菲尔德局部化版本？
• RQ3 在局部化模型范畴中，哪些纤维化可以显式刻画，特别是以同伦拉回的形式？
• RQ4 是否可以利用局部化机制为右奎勒预层的同伦极限构造一个模型范畴？
• RQ5 是否可以使用左博斯菲尔德局部化在一般模型范畴中构造庞蒂亚金塔的模型？

主要发现

• 组合或可处理模型范畴的左博斯菲尔德局部化对任意映射集 $H$ 存在，其弱等价性为 $H$-局部弱等价，$H$-局部协纤维（与 $\mathbf{M}$ 中相同），且纤维对象为在 $\mathbf{M}$ 中纤维化的 $H$-局部对象。
• 当 $\mathbf{M}$ 关于对称单一同伦模型范畴 $\mathbf{V}$ 丰富化时，丰富化左博斯菲尔德局部化存在，其 $H$-局部纤维化通过 $\mathbf{V}$ 中的导出映射对象刻画。
• 某些 $H$-局部纤维化被识别为在 $H$-局部纤维对象之间的纤维化上的同伦拉回，从而提供了一种实用的检测方式。
• 该理论可构造出右奎勒预层同伦极限的模型，其在局部化模型范畴中表现为极限。
• 通过连续的左博斯菲尔德局部化，可在模型范畴中构造庞蒂亚金塔，推广了单纯集中的经典构造。
• 在取值于对称单一同伦模型范畴且满足同伦一致下降条件的预层上，存在一个局部模型结构，其通过丰富化局部化机制得以证明。