[论文解读] On Extremal Index of Max-Stable Random Fields

Enkelejd Hashorva|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2020

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 46被引用 6

一句话总结

本文证明了平稳极稳分布随机场 X(t)，t ∈ ℤ^d 的极值指数 θ_X 与其广义 Pickands 常数 𝒫 相等，给出了 θ_X 为 0、正或 1 的充要条件。进一步证明了 θ_X 等于块极值指数，并表明某些泛函指数也与 θ_X 一致，从而为极稳场中的极值相依性提供了一个统一框架。

ABSTRACT

For a given stationary max-stable random field $X(t),t\in Z^d$ the corresponding generalised Pickands constant coincides with the classical extremal index $θ$ which always exists. In this contribution we discuss necessary and sufficient conditions for $θ$ to be 0, positive or equal to 1 and also show that $θ$ is equal to the so-called block extremal index. Further, we consider some general functional indices of $X$ and prove that for a large class of functionals they coincide with $θ$. Our study of max-stable and stationary random fields is important since the formulas are valid with obvious modifications for the candidate extremal index of multivariate regularly varying random fields.

研究动机与目标

• 以广义 Pickands 常数的形式表征平稳极稳分布随机场的极值指数 θ_X。
• 建立 θ_X 为 0、正或 1 的充要条件。
• 在一般平稳性和正则变异性假设下，证明 θ_X 等于块极值指数。
• 证明由平移不变、零次齐次泛函导出的一类广泛泛函指数与 θ_X 一致。
• 通过谱表示和移位不变泛函，统一极稳场中的极值相依概念。

提出的方法

• 使用谱表示 X(t) = max_i Γ_i^{-1/α} Z_i(t)，其中 Z_i 是谱场 Z 的独立同分布副本。
• 应用 de Haan 特征化方法和 Balkema 引理，确保在归一化条件 E[Z^α(t)] = 1 下谱场的存在性与唯一性。
• 将 Pickands 常数定义为极限 𝒫 = lim_{n→∞} (1/n^d) E[max_{t∈[0,n]^d} Z^α(t)]，该极限等于极值指数 θ_X。
• 通过在增长块上极值的极限行为，建立 θ_X 与块极值指数之间的等价性。
• 在样本路径空间上使用平移不变且零次齐次的泛函 F，推导出涉及 E[F(Θ)] 的恒等式，其中 Θ 为归一化场。
• 应用引理 7.2 表明：在有界性和齐次性条件下，E[F(Z)] = 0 当且仅当 E[F(Θ)] = 0，且 E[F(Z)] = 1 当且仅当 E[F(Θ)] = 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 平稳极稳分布场的极值指数 θ_X 何时为 0、正或 1？
• RQ2 经典极值指数 θ_X 是否总是等于广义 Pickands 常数 𝒫？
• RQ3 在一般条件下，极值指数 θ_X 是否等价于块极值指数？
• RQ4 由平移不变、零次齐次泛函导出的泛函指数是否与 θ_X 一致？
• RQ5 何种条件可确保谱场 Z 满足归一化条件 E[Z^α(t)] = 1 且 P(max_t Z(t) > 0) = 1？

主要发现

• 平稳极稳分布随机场 X(t) 的极值指数 θ_X 等于其广义 Pickands 常数 𝒫，且 θ_X ∈ [0,1] 始终存在。
• θ_X = 0 当且仅当谱场 Z 在任意点均不满足 P(Z(t) > 0) = 1；θ_X = 1 当且仅当 X(t) 由独立的单位 Fréchet 变量构成。
• 在给定正则性条件下，极值指数 θ_X 等于块极值指数，如公式 (1.7) 所定义。
• 对于任意平移不变、零次齐次泛函 F，有 E[F(Z)] = 0 当且仅当 E[F(Θ)] = 0，且 E[F(Z)] = 1 当且仅当 E[F(Θ)] = 1，这确保了泛函指数与 θ_X 的一致性。
• 由 X(t) = max(pη₁(t), (1−p)η₂(t)) 构造的极稳场的极值指数为 θ_X = pθ_η₁ + (1−p)θ_η₂，表明在混合下具有线性性。
• 该结果适用于所有具有单位 Fréchet 边际分布的极稳场，并可通过逼近推广至一般平稳、正则变异性场。