[论文解读] On Fair Allocation of Indivisible Goods to Submodular Agents

Gilad Ben Uziahu, Uriel Feige|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2023

Game Theory and Voting Systems被引用 4

一句话总结

本文提出了多项式时间算法，用于对具有次模估值的代理人公平分配不可分物品，在等额分配下实现了最大最小份额（MMS）的10/27-近似，在任意分配权重下实现了任意价格份额（APS）的1/3-近似。该方法利用出价博弈框架，确保每个代理人获得的价值至少为其份额的常数倍，从而在次模估值设定下优于先前结果。

ABSTRACT

We consider the problem of fair allocation of indivisible goods to agents with submodular valuation functions, where agents may have either equal entitlements or arbitrary (possibly unequal) entitlements. We focus on share-based fairness notions, specifically, the maximin share (MMS) for equal entitlements and the anyprice share (APS) for arbitrary entitlements, and design allocation algorithms that give each agent a bundle of value at least some constant fraction of her share value. For the equal entitlement case (and submodular valuations), Ghodsi, Hajiaghayi, Seddighin, Seddighin, and Yami [EC 2018] designed a polynomial-time algorithm for $\frac{1}{3}$-maximin-fair allocation. We improve this result in two different ways. We consider the general case of arbitrary entitlements, and present a polynomial time algorithm that guarantees submodular agents $\frac{1}{3}$ of their APS. For the equal entitlement case, we improve the approximation ratio and obtain $\frac{10}{27}$-maximin-fair allocations. Our algorithms are based on designing strategies for a certain bidding game that was previously introduced by Babaioff, Ezra and Feige [EC 2021].

研究动机与目标

• 解决在等额与任意分配权重下，对具有次模估值函数的代理人进行不可分物品公平分配的问题。
• 在次模估值设定下，改进先前关于最大最小份额（MMS）公平性的近似比，特别是针对等额分配的情形。
• 通过任意价格份额（APS）概念，将公平性保证扩展至任意分配权重。
• 设计多项式时间算法，确保每个代理人获得的价值至少为其份额的常数倍。
• 分析出价策略的局限性，并建立可实现近似比的紧致界。

提出的方法

• 作者采用Babaioff、Ezra与Feige先前提出的出价博弈框架，并将其适配至次模估值场景。
• 在等额分配下，算法采用比例出价策略，实现10/27-MMS近似，优于先前的1/3界限。
• 在任意分配权重下，采用改进的出价策略，确保每个代理人至少获得其APS的1/3，即使在分配权重不均时亦成立。
• 该方法依赖于构建对抗性出价运行，以检验近似保证的鲁棒性并建立紧致界。
• 理论分析证明，对于APS，不存在大于1/3的常数ρ能保证优于1/3的近似；同时证明在所提框架下，10/27是MMS的最优值。
• 论文通过具有结构化物品集与替代性估值的反例，证明了边界的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在多项式时间算法，可在等额分配下实现对次模代理人最大最小份额（MMS）的优于1/3的近似？
• RQ2 对于具有任意分配权重的次模代理人，任意价格份额（APS）公平性概念能否在常数因子内近似？
• RQ3 在次模设定下，通过出价策略可实现的最佳近似比是多少？是否可将APS的近似比提升至超过1/3，或MMS的近似比提升至超过1/3？
• RQ4 所提出的出价策略是否无法推广至更广泛的估值类（如XOS）？若是，原因是什么？
• RQ5 能否通过对抗性出价博弈构造，证明近似理论极限的存在？

主要发现

• 本文在等额分配下，实现了对次模代理人最大最小份额（MMS）的10/27-近似，优于先前的1/3界限。
• 对于具有任意分配权重的代理人，算法保证每个代理人获得的价值至少为其任意价格份额（APS）的1/3。
• 作者证明，对于APS公平性，不存在大于1/3的常数ρ能保证优于1/3的近似，从而确立了紧致界。
• 通过反例表明，在所提出价策略框架下，MMS的10/27界限是紧致的，无法进一步提升该比例。
• 对于XOS估值，论文表明，任何出价策略在n ≥ 4k²时均无法保证超过1/k的MMS份额，揭示了该类中的根本性限制。
• 分析确认，所提出的出价博弈策略即使经过修改，也无法将APS的近似比提升至超过1/3，或MMS的近似比提升至超过10/27。