[论文解读] On Fano foliations 2

Carolina Araujo, Stéphane Druel|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 6

一句话总结

该论文对非射影空间的复射影流形上的 del Pezzo 流形（即具有指标 r−1 的反 canonical 类的全纯流形）进行分类。利用对数叶理论与 Mori 理论，证明在 ρ(X)=1 的 Fano 流形或特定纤维化结构上，此类流形要么是射影空间，要么是二次曲面，且通过线性投影与向量丛构造给出了显式的几何实现。

ABSTRACT

In this paper we study mildly singular del Pezzo foliations on complex projective manifolds with Picard number one

研究动机与目标

• 对非射影空间的复射影流形上秩为 r、指标为 r−1 的 del Pezzo 流形进行分类。
• 通过极小模型程序中对偶对奇点的分析，理解代数可积流形的一般对数叶的几何结构。
• 确定此类流形在何种条件下由线性投影或具有特定向量丛结构的 P^k 上的纤维化构造而来。
• 将 del Pezzo 流形的分类结果从对数典范奇点与秩约束的限制中拓展出去。
• 通过指标与自由度论证，建立在特定条件下，环境流形必须同构于 P^n 或 Q^n 的结论。

提出的方法

• 对代数可积流形应用对数叶理论 (F, Δ̃)，其中 K̃F + Δ̃ = e* KF。
• 通过配对 (F̃, Δ̃) 定义流形的对数典范奇点，并应用极小模型程序中的分类结果。
• 通过在一般点处存在自由有理曲线，应用 Theorem 2.2 (Kobayashi-Ochiai) 得到指标界 ιX ≥ n。
• 通过爆破与射影丛构造分析一般对数叶 (F̃, Δ̃) 的结构，尤其当 F̃ 是有理曲线上的锥时。
• 应用相对线性投影构造，将 P(E) 上的流形实现为 P(K) 上曲线流形的拉回。
• 在爆破上使用 canonical bundle 公式：KY + π*ΔZ ∼Z (m−2)E + e*(KF + Δ)，并与已知的邻接公式进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非射影空间的复射影流形上，秩为 r、指标为 r−1 的 del Pezzo 流形可能具有哪些几何结构？
• RQ2 在 ρ(X)=1 或 P^k-丛结构的流形上，del Pezzo 流形在何种条件下由线性投影或向量丛构造产生？
• RQ3 一般对数叶 (F̃, Δ̃) 的奇点如何约束流形与环境流形的整体几何结构？
• RQ4 del Pezzo 流形的分类能否超越对数典范奇点与局部自由性的假设？
• RQ5 当一般对数叶为有理正则曲线上的锥时，其特征是什么？这又如何影响环境流形的结构？

主要发现

• 若 X 不同构于 P^n 且 ρ(X)=1，则 X 必同构于 Q^n，即 n 维二次曲面超曲面。
• 对于非 P^n 的 X 上秩 r ≥ 3 的 del Pezzo 流形，若一般对数叶为有理正则曲线上的锥，则环境流形同构于 Q^n。
• 当一般对数叶 (F̃, Δ̃) 同构于度 d ≥ 2 的有理正则曲线上的锥时，环境流形 X 同构于 Q^n。
• 该流形由线性投影 P^{n+1} ⇢ P^{n−r} 限制在 Q^n 上诱导得出，如命题 3.18 所示。
• 对于 ρ(X)=1 的流形上秩为 2 的 del Pezzo 流形，一般对数叶 (F̃, Δ̃) 同构于以下四种标准类型之一：P^2 与 O(1)，O(2)，F_d 与 O(σ+f)，或 P(1,1,d) 与 O(2ℓ)。
• 在所有情况下，假设在一般叶上局部自由，则分类是完备的，且环境流形同构于 P^n 或 Q^n。