[论文解读] On Filter Banks and Wavelets Based on Chebyshev Polynomials

Renato J. Cintra, H. M. de Oliveira+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Image and Signal Denoising Methods参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出基于第二类切比雪夫多项式构造的切比雪夫小波，构建了具有紧支撑、良好频率选择性及通过级联算法收敛的滤波器组。与第一类切比雪夫滤波器不同，第二类滤波器可实现稳定的小波构造，其收敛性已通过马尔可夫链理论证明，展现出在信号去噪应用中的强大潜力。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new family of wavelets, named Chebyshev wavelets, which are derived from conventional first and second kind Chebyshev polynomials. Properties of Chebyshev filter banks are investigated, including orthogonality and perfect reconstruction conditions. Chebyshev wavelets have compact support, their filters possess good selectivity, but they are not orthogonal. The convergence of the cascade algorithm of Chebyshev wavelets is proved by using properties of Markov chains. Computational implementation of these wavelets and some clear-cut applications are presented. Proposed wavelets are suitable for signal denoising.

研究动机与目标

• 基于切比雪夫多项式的正交性和递推性质，开发新型离散小波。
• 利用第一类和第二类切比雪夫多项式设计滤波器组，分析其完美重构与正交性特性。
• 研究基于切比雪夫多项式的级联算法在小波构造中的收敛性，尤其关注第二类切比雪夫滤波器。
• 通过计算实现与信号去噪应用，展示其实际适用性。

提出的方法

• 通过变换 $ H_m^{(1)}(e^{j heta}) = e^{-jm heta/2} T_m(\cos(\theta/2)) $ 从第一类奇数阶切比雪夫多项式推导低通滤波器，得到两抽头的单位脉冲响应。
• 利用 $ h_m^{(2)}[n] = \frac{1}{m+1} $（$ n = 0,1,\dots,m $）构造第二类切比雪夫滤波器，形成类似移动平均的响应。
• 通过配对低通与高通滤波器构建滤波器组，确保功率互补性与对称性。
• 通过迭代应用级联算法生成小波，利用滤波器组转移矩阵的马尔可夫链理论证明其收敛性。
• 通过随机矩阵分析验证收敛性，表明转移矩阵不可约且非周期，具有唯一平稳分布。
• 实现小波的计算化，并在信号去噪任务中测试其性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 第一类切比雪夫多项式能否通过级联算法有效构造稳定的小波？
• RQ2 第二类切比雪夫多项式在级联过程中是否能实现收敛的小波构造？
• RQ3 基于两类切比雪夫多项式的滤波器组具有何种完美重构与正交性特性？
• RQ4 所生成小波的频率选择性与紧支撑特性与标准小波相比如何？
• RQ5 在基于切比雪夫的小波背景下，级联算法收敛性有何理论保证？

主要发现

• 基于第二类的切比雪夫小波在级联算法下收敛，其收敛性通过滤波器组转移矩阵的马尔可夫链分析得以证明。
• 由第二类切比雪夫多项式导出的滤波器组是非正交的，但实现了完美重构且具有紧支撑。
• 第二类滤波器的幅频响应与移动平均滤波器高度相似，表明其具有良好的平滑与去噪特性。
• 第一类切比雪夫滤波器的级联算法不收敛，表明其不适用于通过该方法生成小波。
• 第二类滤波器组的转移矩阵不可约且非周期，满足佩龙-弗罗贝尼乌斯定理的收敛条件。
• 所生成的小波在计算实现与应用实例验证下，展现出强大的信号去噪潜力。